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10.3. Formulation générale - Équation de Lippmann-Schwinger
les phases des valeurs propres e 2 iTJcr(E) de la matrice S (E). Sur l'exemple très simple
de la figure 10.3, nous avons introduit le concept de« résonance» : l'amplitude de
diffusion, i.e. la matrice S, signale l'existence d'états quasi-liés (correspondant à des
sauts de n du déphasage ou des pics lorentziens de T(E) ~ 21ï ~~ ). Enfin nous avons
montré que l'étude de l'amplitude de diffusion, i.e. de l/J(x ---7 oo; E) pour E > 0,
permet de remonter au spectre des états liés, i.e. aux fonctions d'onde au niveau du
puits de potentiel pour E < O.
Ces progrès ont été possibles en analysant les états stationnaires de diffusion, i.e.
les solutions de l'équation de Schrodinger unidimensionnelle. Nous discutons maintenant quelques résultats généraux permettant de construire les états stationnaires.
10.3 FORMULATION GÉNÉRALE - ÉQUATION
DE LIPPMANN-SCHWINGER
Cette section fait appel à la notion de fonction de Green introduite dans l'annexe 10.A. Une étude des exercices 10.6 et 10.8 est conseillée à ce stade.
Séparons l'hamiltonien en une partie libre, notée Ho, et le potentiel donnant lieu
au processus de diffusion, noté V (cette séparation est nécessaire afin de définir des
états asymptotiquement libres) : H = Ho + V. Nous cherchons à résoudre l'équation de Schrodinger stationnaire dans une situation de diffusion (spectre continu) :
(E - H)ll/IE ) = 0, que nous pouvons écrire (E - Ho)ll/IE) =VII/JE ). Nous sommes
maintenant tentés de diviser membres de gauche et de droite par l'opérateur E - Ho
afin d'obtenir une équation pour 1' état stationnaire. Ce faisant nous devons prendre
garde à deux choses : le premier point (le plus délicat) est que l'opérateur (E - Ho)
n' est pas toujours inversible. Nous étudions ici les états de diffusion appartenant
au continuum d'états de H, or Spec(Ho) = JR+ c Spec(H). Pour E E JR+, l'inversion de (E - Ho) est bien définie en décalant les pôles sous l'axe réel des énergies (respectivement au-dessus), ce qui fait apparaître la fonction de Green retardée
G+(E) = (E - Ho+ iQ+)1 (respectivement avancée G-(E) = (E - Ho - iQ+)1
) (cf.
annexe 10.A). Le deuxième point est que nous pouvons ajouter à 11/1 E) une solution
11/1~) ) du problème libre, (E - Ho)l 1/1~) ) = O. Finalement nous aboutissons à l' équation de Lippmann-Schwinger pour les états stationnaires sortants ( + ) ou entrants ( - )
(introduits dans le cas ID dans la section 10.2.2) :
(10.27)
La nature sortante ou entrante se déduit des comportements asymptotiques des fonctions de Green retardée et avancée (ce point est discuté dans l' annexe 10.A; on pourra
également étudier l'exercice 10.7). Écrite en représentation d'espace, cette équation
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10.3. Formulation générale - Équation de Lippmann-Schwinger
les phases des valeurs propres e 2 iTJcr(E) de la matrice S (E). Sur l'exemple très simple
de la figure 10.3, nous avons introduit le concept de« résonance» : l'amplitude de
diffusion, i.e. la matrice S, signale l'existence d'états quasi-liés (correspondant à des
sauts de n du déphasage ou des pics lorentziens de T(E) ~ 21ï ~~ ). Enfin nous avons
montré que l'étude de l'amplitude de diffusion, i.e. de l/J(x ---7 oo; E) pour E > 0,
permet de remonter au spectre des états liés, i.e. aux fonctions d'onde au niveau du
puits de potentiel pour E < O.
Ces progrès ont été possibles en analysant les états stationnaires de diffusion, i.e.
les solutions de l'équation de Schrodinger unidimensionnelle. Nous discutons maintenant quelques résultats généraux permettant de construire les états stationnaires.
10.3 FORMULATION GÉNÉRALE - ÉQUATION
DE LIPPMANN-SCHWINGER
Cette section fait appel à la notion de fonction de Green introduite dans l'annexe 10.A. Une étude des exercices 10.6 et 10.8 est conseillée à ce stade.
Séparons l'hamiltonien en une partie libre, notée Ho, et le potentiel donnant lieu
au processus de diffusion, noté V (cette séparation est nécessaire afin de définir des
états asymptotiquement libres) : H = Ho + V. Nous cherchons à résoudre l'équation de Schrodinger stationnaire dans une situation de diffusion (spectre continu) :
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maintenant tentés de diviser membres de gauche et de droite par l'opérateur E - Ho
afin d'obtenir une équation pour 1' état stationnaire. Ce faisant nous devons prendre
garde à deux choses : le premier point (le plus délicat) est que l'opérateur (E - Ho)
n' est pas toujours inversible. Nous étudions ici les états de diffusion appartenant
au continuum d'états de H, or Spec(Ho) = JR+ c Spec(H). Pour E E JR+, l'inversion de (E - Ho) est bien définie en décalant les pôles sous l'axe réel des énergies (respectivement au-dessus), ce qui fait apparaître la fonction de Green retardée
G+(E) = (E - Ho+ iQ+)1 (respectivement avancée G-(E) = (E - Ho - iQ+)1
) (cf.
annexe 10.A). Le deuxième point est que nous pouvons ajouter à 11/1 E) une solution
11/1~) ) du problème libre, (E - Ho)l 1/1~) ) = O. Finalement nous aboutissons à l' équation de Lippmann-Schwinger pour les états stationnaires sortants ( + ) ou entrants ( - )
(introduits dans le cas ID dans la section 10.2.2) :
(10.27)
La nature sortante ou entrante se déduit des comportements asymptotiques des fonctions de Green retardée et avancée (ce point est discuté dans l' annexe 10.A; on pourra
également étudier l'exercice 10.7). Écrite en représentation d'espace, cette équation
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