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0
lil
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0
N
@
.....
..c
O'l
·;::::
>Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
l'absence du potentiel diffusant, dans le canal cr : R/n = l/ôk~O) = po(En) ~;:. Nous
avons donc obtenu une relation entre déphasages et la variation de densité d'états
induite par l'introduction du potentiel diffusant, ôp(E) ~ p(E) - po(E) :
1 I dTJ(J"(E) 1 d
ôp(E) = -
= - . -lndetS(E)
n
dE
2IJr dE
(]"=±
(10.24)
(où nous avons utilisé que trin = ln det).
Remarque
dans la limite de volume infini, <5p(E) est la différence de deux quantités infinies.
Nous avons donné un sens précis à « p(E) - p 0 (E) » en considérant le problème dans
un volume fini, 2R, puis en prenant la limite R ~ oo . Les densités d'états divergent
chacune linéairement avec R, cependant la différence reste finie. Une autre manière
de définir précisément <5p(E) consiste à introduire la densité d'états locale p(x; E) =
L:n lcpn(X)l 2 <5(E - En). La variation de densité d'états peut être calculée en volume infini :
ôp(E) = f : dx [p(x; E) - p 0 (x; E)].
• Démonstration du théorème de Levinson
(10.24) fournit une expression de ôp(E) dans la partie positive du spectre (continuum)
où le problème de diffusion est défini. En admettant que l' introduction du potentiel
ne change pas le nombre total d'états mais ne fait que redistribuer leur répartition
(éventuellement en envoyer dans R-, i.e. faire apparaître des états liés), nous pouvons
écrire
Ns + 1
00
dE Op(E) = 0,
(10.25)
où Ns est le nombre d' états liés. Nous utilisons maintenant la relation (10.24) pour
exprimer l'intégrale fo
00
dE ôp(E) = ~ ~(]" fo
00
dE dry
(10.26)
(J"
qui apparaît donc comme une règle de somme sur la règle de somme de
Friedel (1 0.24) .
8
10.2.3 Conclusion provisoire
Nous pouvons déjà dresser une petite liste des enseignements de l'étude du cas unidimensionnel. Tout d'abord, soulignons que la théorie de la diffusion repose sur l'étude
du comportement asymptotique des états quantiques, dont on extrait des informations
caractérisant le potentiel diffuseur. Nous avons introduit les notions de déphasage et
de matrice S , entre lesque11es nous avons précisé la relation : les déphasages sont
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>Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
l'absence du potentiel diffusant, dans le canal cr : R/n = l/ôk~O) = po(En) ~;:. Nous
avons donc obtenu une relation entre déphasages et la variation de densité d'états
induite par l'introduction du potentiel diffusant, ôp(E) ~ p(E) - po(E) :
1 I dTJ(J"(E) 1 d
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= - . -lndetS(E)
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(où nous avons utilisé que trin = ln det).
Remarque
dans la limite de volume infini, <5p(E) est la différence de deux quantités infinies.
Nous avons donné un sens précis à « p(E) - p 0 (E) » en considérant le problème dans
un volume fini, 2R, puis en prenant la limite R ~ oo . Les densités d'états divergent
chacune linéairement avec R, cependant la différence reste finie. Une autre manière
de définir précisément <5p(E) consiste à introduire la densité d'états locale p(x; E) =
L:n lcpn(X)l 2 <5(E - En). La variation de densité d'états peut être calculée en volume infini :
ôp(E) = f : dx [p(x; E) - p 0 (x; E)].
• Démonstration du théorème de Levinson
(10.24) fournit une expression de ôp(E) dans la partie positive du spectre (continuum)
où le problème de diffusion est défini. En admettant que l' introduction du potentiel
ne change pas le nombre total d'états mais ne fait que redistribuer leur répartition
(éventuellement en envoyer dans R-, i.e. faire apparaître des états liés), nous pouvons
écrire
Ns + 1
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dE Op(E) = 0,
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où Ns est le nombre d' états liés. Nous utilisons maintenant la relation (10.24) pour
exprimer l'intégrale fo
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qui apparaît donc comme une règle de somme sur la règle de somme de
Friedel (1 0.24) .
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10.2.3 Conclusion provisoire
Nous pouvons déjà dresser une petite liste des enseignements de l'étude du cas unidimensionnel. Tout d'abord, soulignons que la théorie de la diffusion repose sur l'étude
du comportement asymptotique des états quantiques, dont on extrait des informations
caractérisant le potentiel diffuseur. Nous avons introduit les notions de déphasage et
de matrice S , entre lesque11es nous avons précisé la relation : les déphasages sont
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