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10.2. Collisions en une dimension
• Ondes partielles et déphasage
Nous montrons maintenant comment nous pouvons retrouver la notion de déphasage
dans cette situation. Le déphasage 77 est une phase relative entre une onde incidente
e-iklxl et une onde réfléchie e+iklxl+ 2 i11. Puisque 1' équation de Schrodinger unidimensionnelle admet deux solutions dégénérées à toute énergie, afin de définir des déphasages, il est naturel d'introduire la base d'états stationnaires d'énergie E :
'I'a-(x) : : : : : : [aa- BH(x) +ha- BH(-x)] cos(klxl + 7Ja-(E))
lxl-?oo
(10.22)
où cr
± est un indice discret repérant les deux états et 7Ja-(E) sont les deux déphasages. Nous cherchons à établir une relation entre les deux bases d 'états. Pour
cela nous décomposons chaque état dans la base de départ 'I'a-(x) = Ca- l/f~ (x; E) +
lfJ;(x; E). En comparant les comportements asymptotiques en x --? +oo nous obtenons r' + Ca- t = e 2 i11(T et en x --? -oo : t' + Ca- r = Ca-e 2 i77(T . En éliminant Ca- les deux
équations conduisent à e
4 i77(T - (r + r')e 2 i77(T - tt' + rr' = O. Autrement dit, nous venons
de montrer que les deux états 'l'+(x) et 'l'_(x) sont les deux états propres de la matrice
de diffusion. Ils sont appelés les ondes partielles. Les déphasages correspondent aux
phases des valeurs propres de la matrice S :
1 det(S - e 2 i
1
1(T 1) = 0 1
(10.23)
Nous retrouverons cette idée générale (dans la situation semi-infinie analysée dans le
paragraphe précédent, le coefficient de réflexion a joué le rôle de matrice de diffusion
S = r = e2i11).
Remarque : potentiel pair
C'est seulement lorsque le potentiel est symétrique V(x) = V(-x) que les deux états
stationnaires (1 0.22) possèdent une symétrie sous la parité. Dans ce cas a(T = CTb(T et
'P+(x) et 'P_(x) sont respectivement les états pair et impair.
• Règle de somme de Krein-Friedel
Nous discutons une relation entre matrice S et spectre du problème. Pour cela nous
supposons un moment que le système est dans un volume fini , sur un intervalle
[-R ; +R] sur les bords duquel nous imposons des conditions de Dirichlet l/J(±R) = O.
L'équation de quantification prend une forme sympathique dans la base des ondes
partielles : 'I'a-(±R) = 0 i.e. knR + 1Ja-(En) + rr/2 = nrr, où En = 1ï 2
2
k~ . La distance entre
me
niveaux ôEn = En+I - En:::::: ~f~okn , avec ôkn = kn+1-kn, s'interprète comme l ' inverse
de la densité d'états p(En):::::: I/ôEn (cette notion est définie dans l 'annexe IO.A). Dans
la limite R --? oo les niveaux se resserrent et nous pouvons développer l 'équation de
quantification Jek
1
, :::::: li + l dry'dkEn). Le premier terme est relié à la densité d' états e n
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• Ondes partielles et déphasage
Nous montrons maintenant comment nous pouvons retrouver la notion de déphasage
dans cette situation. Le déphasage 77 est une phase relative entre une onde incidente
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de montrer que les deux états 'l'+(x) et 'l'_(x) sont les deux états propres de la matrice
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phases des valeurs propres de la matrice S :
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(10.23)
Nous retrouverons cette idée générale (dans la situation semi-infinie analysée dans le
paragraphe précédent, le coefficient de réflexion a joué le rôle de matrice de diffusion
S = r = e2i11).
Remarque : potentiel pair
C'est seulement lorsque le potentiel est symétrique V(x) = V(-x) que les deux états
stationnaires (1 0.22) possèdent une symétrie sous la parité. Dans ce cas a(T = CTb(T et
'P+(x) et 'P_(x) sont respectivement les états pair et impair.
• Règle de somme de Krein-Friedel
Nous discutons une relation entre matrice S et spectre du problème. Pour cela nous
supposons un moment que le système est dans un volume fini , sur un intervalle
[-R ; +R] sur les bords duquel nous imposons des conditions de Dirichlet l/J(±R) = O.
L'équation de quantification prend une forme sympathique dans la base des ondes
partielles : 'I'a-(±R) = 0 i.e. knR + 1Ja-(En) + rr/2 = nrr, où En = 1ï 2
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