"'O
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
'Jf ;(x;E):
+
E
'JI D(x;E):
clj
CD
J
.....
~ V(x)
1
! > t
1 V(x)
t
! > r
1--<
0
ifJ
r t J CD
--------- -- ----- --- ----- --- --------------E 'Jf ~(x;E):
'Jf ;(x;E) :
clj
1--<
r*
t*
! >CD
.....
~ V(x) ~
1 V(x)
t
i:::
~
CD t'*
r'*
Figure l 0.7 - Deux bases d'états stationnaires de diffusion.
En haut les états «sortants» (+) et en bas les états «entrants» (-).
du diffuseur (figure 10.7) : ces états sont appelés les «états entrants» et seront notés
{11/Jc,E), 11/Jl),E)}.
Nous établissons maintenant la relation entre les deux bases d'états. En comparant les comportements asymptotiques pour x ~ +oo nous voyons que 1' onde sortante vers la gauche est éliminée en considérant la combinaison linéaire : l/f(/x; E) oc
-r'l/f~(x; E) + tl/f;(x; E). Le préfacteur est fixé par inspection du comportement pour
x ~ - oo en imposant que le coefficient de l'onde sortante vers la gauche soit 1. Il
vient
r' ,,,+ (x E) - t ,,,+ (x E)
-
'f' G '
'f' D
'
* +
' * +
l/JG(x; E) =
= r l/JG(x; E) + t l/Jn(x; E)
rr' - tt'
: : : : : : : {r* e+ikx + e- ikx
t'* e- ikx
pour x ~ - oo
pour x ~ +oo
(10.18)
(10.19)
où nous avons utilisé les relations entre coefficients issues de la condition d'unitarité
s - 1 = S t . Une analyse similaire nous fournit l/Jl)(x; E) = t* l/J~(x; E) + r'* l/J;(x; E).
La matrice S nous permet donc de relier les deux bases d'états :
(
l/J~(x; E)) =ST (l/Jq(x; E)).
l/J;(x; E)
l/f D(x; E)
(10.20)
La matrice S ne relie pas seulement les amplitudes associées aux comportements
asymptotiques de la fonction d'onde, eq. (10.17), mais les deux bases d'états, V x. En
fai sant un choix de normalisation approprié
3 assurant ( l/J~,E 11/! $,E' ) = Ôa138(E - E'),
nous obtenons
1 ( l/J~,E 11/Jft,E') = S f3a ô(E - E') 1 avec a, f3 E {G, D}.
(10.21)
3. On doit multiplier les expressions de la section, eqs. (1 0.1 3,10.14, ... ), par 1/ ..../hv(E ) où v(E) est la
vitesse E = ~ mv(E)
2 (cf. problème 10. l) .
186