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10.2. Collisions en une dimension
• Résonances
Nous simplifions maintenant le problème et considérons la situation en l'absence du
puits, ko = 0, avec une barrière ,i * O.
+ikL ,.i • kL
2i (E)
e
+ k sm
-2ikL
r( E) = e 17 = - .
e
.
e- •kL + .J. sin kL
(10.11)
k
La présence de la barrière nous permet de varier le « couplage » entre la région
[O, L] et la région semie-infinie, x > L. En particulier pour ,i = oo les deux régions sont découplées : sur [O, L] nous sommes ramenés à un problème d'états liés
(1/1(0) = lf!(L) = 0) dont la solution est le spectre d'états liés de la boîte quantique,
n2k2
(2
En = 2 m; et
(10.12)
Donner l'expression de En et nI'n. Analyser le mouvement de r(E) dans le plan complexe lorsque E varie.
Les résonances (pics de largeurs ôE ~ nI'n de la figure 10.4) signalent des états
quasi-liés, de grande durée de vie l /Tn. Ceci est illustré sur la figure 10.5 : lorsque
l'énergie ne coïncide pas avec l' énergie d'un état quasi-lié, la fonction d' onde est
quasiment nulle dans la « région de diffusion», l'intervalle [0, L], (à gauche) alors
qu'elle est très importante si E = En (à droite).
Nous montrerons précisément dans le problème 10.2 que r(E) ~ 2n1';; = ~k dd
2
k
17
s'interprète comme le temps de retard de l'onde à la réflexion dû à la présence du
potentiel d' interaction. Une résonance se signale par un pic lorentzien de la fonction
r(E), centré sur En et de largeur nI'n, et signale qu' une particule d'énergie E ~ En
passe un temps r(En) ~ l /Tn très long dans la région d' interaction, ici [0, L] (partie
droite de la fi gure 10.4). C 'est une« nouvelle version » de l' inégalité de Heisenberg
183
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[O, L] et la région semie-infinie, x > L. En particulier pour ,i = oo les deux régions sont découplées : sur [O, L] nous sommes ramenés à un problème d'états liés
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Donner l'expression de En et nI'n. Analyser le mouvement de r(E) dans le plan complexe lorsque E varie.
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l'énergie ne coïncide pas avec l' énergie d'un état quasi-lié, la fonction d' onde est
quasiment nulle dans la « région de diffusion», l'intervalle [0, L], (à gauche) alors
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s'interprète comme le temps de retard de l'onde à la réflexion dû à la présence du
potentiel d' interaction. Une résonance se signale par un pic lorentzien de la fonction
r(E), centré sur En et de largeur nI'n, et signale qu' une particule d'énergie E ~ En
passe un temps r(En) ~ l /Tn très long dans la région d' interaction, ici [0, L] (partie
droite de la fi gure 10.4). C 'est une« nouvelle version » de l' inégalité de Heisenberg
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