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N
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.......
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CJl
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> a.
0
u
Chapitre 10 • Introduction à la théorie des collisions
des états stationnaires de diffusion (E > 0) et les états liés du problème. Ce point
se comprend en écrivant la fonction d'onde l/f(x; E = +k 2 ) oc r(i)e-ikx + eikx. Cette
solution est également une solution de l'équation de Schrodinger pour E < 0 à condition de procéder à un prolongement analytique, k = VE+ iO+ ---7 ik; on obtient
l/J(x; E = -k
2 ) oc r(E=-~ 2 +io+)éx + e-kx. La normalisabilité est assurée dans ce cas en
écrivant r(E + iü+) = oo. Autrement dit : les états liés du problème sont les solutions
de 1 'équation
r(E) = oo pour E E {En}n=l,··· ,N 8
(10.9)
ce qui est manifeste sur l'exemple étudié ici en notant que les pôles de l' équation (1 0.8) coïncident avec les solutions de l'équation de quantification (10.7), après
substitution k ---7 ik.
Cette relation entre propriétés de la diffusion (i.e. du continuum d'états pour E > 0)
et les états liés (i.e. le spectre discret pour E < 0) s'illustre notamment à travers le
théorème de Levinson ( 1949) qui montre que le déphasage permet de compter les
états liés :
7](0) - 1]( OO)
N 8 = #d' états liés =
(10.10)
où il est entendu que la fonction 7](E) est une fonction continue de l' énergie. Nous
illustrons cette observation sur la figure 10.4 dans le cas du potentiel de la figure 10.3.
Le théorème est démontré plus bas (l'équation (10.8) ne donne le déphasage 7](E)
que modulo n; une autre formulation du théorème de Levinson est : N 8 = [# de
discontinuités de 7](E) modulo n]).
182
~
2
.
0
\
ko-:f=O
.........,
·.
.-... 1.5
\
8
\
-
~
A=O
;::::\
1 l.O l
·· .. .
.-...
1
.. ..
~
\
·· ...
~ o.s '-,,'· .
••• ••••••••••••• •••••••••••••••••
-
. ... _
. . . . ........... . .. .
kL/n
10 ~------------ko=O
À=lO/L
kL/n
Figure 10.4 - Théorème de Levinson - Résonances.
À gauche : Illustration du théorème de Levinson donnant le nombre d'états liés dans le
puits : N 8 = ~ [1](0) - 17(00)]. Déphasage en fonction de k pour différentes profondeurs de
puits de largeur L = 1 en l'absence de barrière (pour A = 0, les états liés apparaissent
dans le puits pour k 0 = rr( n+ ~)): k 0 = ~ - 0.1 (ligne continue), ~ + 0.1 (tirets) et 3~ + 0.1
(pointillés). À droite : ~Z + L pour k 0 = O et A = 10/ L.
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des états stationnaires de diffusion (E > 0) et les états liés du problème. Ce point
se comprend en écrivant la fonction d'onde l/f(x; E = +k 2 ) oc r(i)e-ikx + eikx. Cette
solution est également une solution de l'équation de Schrodinger pour E < 0 à condition de procéder à un prolongement analytique, k = VE+ iO+ ---7 ik; on obtient
l/J(x; E = -k
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écrivant r(E + iü+) = oo. Autrement dit : les états liés du problème sont les solutions
de 1 'équation
r(E) = oo pour E E {En}n=l,··· ,N 8
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ce qui est manifeste sur l'exemple étudié ici en notant que les pôles de l' équation (1 0.8) coïncident avec les solutions de l'équation de quantification (10.7), après
substitution k ---7 ik.
Cette relation entre propriétés de la diffusion (i.e. du continuum d'états pour E > 0)
et les états liés (i.e. le spectre discret pour E < 0) s'illustre notamment à travers le
théorème de Levinson ( 1949) qui montre que le déphasage permet de compter les
états liés :
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où il est entendu que la fonction 7](E) est une fonction continue de l' énergie. Nous
illustrons cette observation sur la figure 10.4 dans le cas du potentiel de la figure 10.3.
Le théorème est démontré plus bas (l'équation (10.8) ne donne le déphasage 7](E)
que modulo n; une autre formulation du théorème de Levinson est : N 8 = [# de
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À gauche : Illustration du théorème de Levinson donnant le nombre d'états liés dans le
puits : N 8 = ~ [1](0) - 17(00)]. Déphasage en fonction de k pour différentes profondeurs de
puits de largeur L = 1 en l'absence de barrière (pour A = 0, les états liés apparaissent
dans le puits pour k 0 = rr( n+ ~)): k 0 = ~ - 0.1 (ligne continue), ~ + 0.1 (tirets) et 3~ + 0.1
(pointillés). À droite : ~Z + L pour k 0 = O et A = 10/ L.