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10.2. Collisions en une dimension
(figure 10.3) :
n2 (
d2
2
)
n2 k2
2
me - dx 2 - k 0 BH(L - x) +À ô(x - L) l/f(x) = 2
me l/f(x)
pour x >O. (10.6)
L'étude de cette situation, qui généralise le cas étudié dans la section 2.1.4 est déjà
assez instructive.
Tout d'abord il est utile pour la discussion de trouver 1' équation de quantification
donnant les énergies des états liés. Posons E = - ~;,,: < O. La fonction d'onde est
de la forme l/J(x) = ~!~ ~1 pour x E [O, L], où K = ~k6 - k2, et l/f(x) = e -k(x-L)
pour x E [L, oo[. L'équation de quantification est obtenue en imposant la condition
de raccordement 2 de part et d'autre du potentiel 2
112
Àô(x - L):
me
K cotgKL= -(k+A)
(10.7)
dont nous notons l'ensemble des solutions {En}n=l.-·· ,Ns· Cette équation peut être résolue graphiquement. Par exemple il est facile de voir qu'en 1' absence de la barrière
(A= 0) un nouvel état lié apparaît chaque fois que k 0 L = n(n + !), n EN.
Exercice 1 O. 1 (F) V éri:fier cette dernière assertion.
Tournons nous maintenant vers notre principal objet d'étude, à savoir les propriétés de la diffusion, pour E = +
11
2
2
k
2 > O. La fonction d'onde dans le puits s'écrit
rne
l/f(x) = [e- ikL + re+ikL ] ~!~ ~f où K = ~k6 + k 2 (le préfacteur est choisi afin d'assurer la continuité avec (1 0.5)). Le raccordement des deux expressions nous donne
l'expression du coefficient de réflexion
2ikL
2in(E)+2 ikL
K cotg KL + ik +À
r(E)e
= e .,
= -
.
.
K cotgKL-1k+A
(10.8)
Nous retrouvons le résultat du problème libre en faisant ko = 0 et À = 0 (ou de
manière équivalente k ~ oo) le membre de droite est alors -e 2 ikL, i.e. 17(E ~
oo)modn = ~·
• Relation entre coefficient de réflexion et spectre d'états liés
Définissant la solution d' une équation différentielle (l'équation de Schrodinger), le
coefficient de réflexion (1' amplitude de probabilité de réflexion) possède des propriétés d'analyticité nous permettant d'établir une correspondance entre cette propriété
2. Pour trouver la condition de raccordement (10.7), on intègre (10.6) sur l'intervalle [L - E, L + E] :
-[l/l'(L + E) - l/I' (L - E)] - k6 i~,, dx l/f(x) + Âl/f(L) = k
2
i~:s dx l/f(x). Puis on prend la limite E ~ o+.
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L'étude de cette situation, qui généralise le cas étudié dans la section 2.1.4 est déjà
assez instructive.
Tout d'abord il est utile pour la discussion de trouver 1' équation de quantification
donnant les énergies des états liés. Posons E = - ~;,,: < O. La fonction d'onde est
de la forme l/J(x) = ~!~ ~1 pour x E [O, L], où K = ~k6 - k2, et l/f(x) = e -k(x-L)
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(A= 0) un nouvel état lié apparaît chaque fois que k 0 L = n(n + !), n EN.
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l'expression du coefficient de réflexion
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manière équivalente k ~ oo) le membre de droite est alors -e 2 ikL, i.e. 17(E ~
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• Relation entre coefficient de réflexion et spectre d'états liés
Définissant la solution d' une équation différentielle (l'équation de Schrodinger), le
coefficient de réflexion (1' amplitude de probabilité de réflexion) possède des propriétés d'analyticité nous permettant d'établir une correspondance entre cette propriété
2. Pour trouver la condition de raccordement (10.7), on intègre (10.6) sur l'intervalle [L - E, L + E] :
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