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9.1. Inégalité triangulaire : valeurs de j permises
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- 3 - 2 -1 O 1 2 3
m
Figure 9.1- Deux bases de l'espace 6 (2) ® 6 (1) = 6 (3) œ 6 (2) œ 6 (1).
À gauche : Représentation des états 1)1, m 1 ;) 2 , m 2 ) . À droite : Représentation des états
1 ), m ). Le long d'une ligne correspondant à une valeur de m donnée, les états en étoiles
sont des combinaisons linéaires des états ronds .
cette valeur propre. Nous déduisons notamment que 1 j = j 1 + h, m = }1 + h ) =
1 j 1 , m 1 = j 1; h, m2 = h ) . D'autre part nous constatons que la dégénérescence maximale est donnée par dmax = 2h + 1 si h ~ }1 (par exemple, la figure 9.1 montre que
la valeur propre m = 0 est dégénérée 3 = 2 x 1 + 1 fois).
• La dégénérescence maximale dmax des valeurs propres m de l z correspond au
nombre de sous espaces g (j):
}max - }min + 1 = dmax = 2)2 + 1
si Ji ~ h ·
(9.5)
Nous en déduisons que }min = }1 - )2. Finalement nous obtenons l'encadrement:
(9.6)
Cette inégalité est parfois appelée « règle du triangle ». Si }1 , h et j satisfont l'inégalité on note parfois !1.(j 1 , }2, j). Nous pouvons écrire que l'espace se décompose
comme :
Ji +h
g (j1) © g (j2) = EB g (j)
J=IJ1-hl
(9.7)
Cette relation montre que l'espace g (j1) © g (h) se décompose comme une somme
de sous espaces g (j), plus petits et stables sous les rotations. Dans un langage de
théorie des groupes : le produit tensoriel de deux représentations irréductibles de
j * 0 est une représentation réductible, pouvant être décomposée comme somme de
représentations irréductibles.
On vérifie que les dimensions des espaces reliés par l'équation (9.7) coïncident :
(2}i + 1)(2}2 + 1) = L:!
1
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(2j + 1).
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171
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