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Chapitre 9 • Addition des moments cinétiques
d'opérateurs, que nous notons 1} 1 ; }2; }, m ). Bien que l'addition de deux moments
cinétiques s'interprète de manière intéressante dans le cadre plus général de la théorie des groupes, la pratique que nous en aurons se limitera à la possibilité d'effectuer
un changement de base :
(9.3)
Comme nous l'avons expliqué en introduction, c'est la seconde base qui se révèlera la
plus adaptée à la classification des états propres de l'hamiltonien dans de nombreux
problèmes.
• Coefficients de Clebsch-Gordan
Dans le chapitre nous considérons que j 1 eth sont fixés. Ainsi nous pouvons omettre
les deux indices dans le vecteur : nous allègerons la notation 1 Ji; h; j, m ) = 1 j, m ) ,
ce qui limitera également les confusions entre les deux bases. La décomposition du
vecteur 1 j, m ) dans la base des 1 j 1 , ml; h, m2 ) s'écrit sous la forme :
1
.
)
'\""1 cj,m
1 .
.
)
],m = L..J j1,m1 ;ji,m2 J1,m1;J2,m2
(9.4)
m1,m2
elle fait intervenir des coefficients c!·m . .
~(Ji, m1; }2, m2 IJ, m), choisis dans
11 ,m1 ,J2,m2
R par convention et appelés des « coefficients de Clebsch-Gordan ». Un des objets de
ce chapitre est de développer la méthode permettant de déterminer systématiquement
ces coefficients.
9.1 INÉGALITÉ TRIANGULAIRE :
VALEURS DE j PERMISES
Considérons un sous espace g (}1) © g (}2). Cet espace est un espace stable sous les
rotations. Nous en déduisons qu'il se décompose comme la réunion de sous espaces
propres de 1-+i, ce que nous écrivons: g (}1) © g (h) = LD!:a~. g (j). Une première
W}- }mm
question à laquelle nous devons répondre est de savoir sur quelles valeurs de j porte
la somme. La deuxième question sera de décomposer les vecteurs 1 } , m) d'un sous
espace g (j) sur les 1 }1, m1; }2, m2 ). Nous appuyons quelques remarques générales
sur le cas particulier représenté sur la figure 9.1.
• Le nombre quantique m1 varie entre - Ji et+ Ji et m2 varie entre - h et+ }2. Puisque
l z = l1 z + h z nous déduisons que ses valeurs propres m varient entre -(}1 + }2) et
Ji + }2, d'où }max =Ji+ }2.
• Nous analysons la dégénérescence des valeurs propres m. Si nous considérons la valeur de m maximum, celle-ci n'est pas dégénérée puisque seul 1j1, j 1; h, h ) possède
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Chapitre 9 • Addition des moments cinétiques
d'opérateurs, que nous notons 1} 1 ; }2; }, m ). Bien que l'addition de deux moments
cinétiques s'interprète de manière intéressante dans le cadre plus général de la théorie des groupes, la pratique que nous en aurons se limitera à la possibilité d'effectuer
un changement de base :
(9.3)
Comme nous l'avons expliqué en introduction, c'est la seconde base qui se révèlera la
plus adaptée à la classification des états propres de l'hamiltonien dans de nombreux
problèmes.
• Coefficients de Clebsch-Gordan
Dans le chapitre nous considérons que j 1 eth sont fixés. Ainsi nous pouvons omettre
les deux indices dans le vecteur : nous allègerons la notation 1 Ji; h; j, m ) = 1 j, m ) ,
ce qui limitera également les confusions entre les deux bases. La décomposition du
vecteur 1 j, m ) dans la base des 1 j 1 , ml; h, m2 ) s'écrit sous la forme :
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elle fait intervenir des coefficients c!·m . .
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R par convention et appelés des « coefficients de Clebsch-Gordan ». Un des objets de
ce chapitre est de développer la méthode permettant de déterminer systématiquement
ces coefficients.
9.1 INÉGALITÉ TRIANGULAIRE :
VALEURS DE j PERMISES
Considérons un sous espace g (}1) © g (}2). Cet espace est un espace stable sous les
rotations. Nous en déduisons qu'il se décompose comme la réunion de sous espaces
propres de 1-+i, ce que nous écrivons: g (}1) © g (h) = LD!:a~. g (j). Une première
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question à laquelle nous devons répondre est de savoir sur quelles valeurs de j porte
la somme. La deuxième question sera de décomposer les vecteurs 1 } , m) d'un sous
espace g (j) sur les 1 }1, m1; }2, m2 ). Nous appuyons quelques remarques générales
sur le cas particulier représenté sur la figure 9.1.
• Le nombre quantique m1 varie entre - Ji et+ Ji et m2 varie entre - h et+ }2. Puisque
l z = l1 z + h z nous déduisons que ses valeurs propres m varient entre -(}1 + }2) et
Ji + }2, d'où }max =Ji+ }2.
• Nous analysons la dégénérescence des valeurs propres m. Si nous considérons la valeur de m maximum, celle-ci n'est pas dégénérée puisque seul 1j1, j 1; h, h ) possède
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