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0
N
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.......
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O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
que dans le plan de symétrie vertical xOz de l'aimant (sinon elle violerait l'une des
-7
quatre équations de Maxwell, div B = 0) ! Ces approximations nous permettent de
nous limiter à un hamiltonien approché
(8.99)
Nous notons 11/J(t)) l'état quantique de la particule. Il sera commode pour la suite de
décomposer cet état dans la base des états propres de S z comme
11/J(t)) = 11/J+(t)) ® 1 +) + 11/J- (t)) ® 1-)
(8.100)
où 11/J±(t)) décrit l'état orbital. Supposons que la partie orbitale, associée à deux fonctions d ' onde If!± (r, t) = ( ( ri ® ( ± 1)11/f(t) ) , décrive un paquet d'ondes envoyé sur le
Stern & Gerlach (en fait deux paquets d'onde, un pour chaque état de spin).
Une première observation importante est que la probabilité pour que la particule
se trouve dans l'état de spin 1 ± ), notée n±, est conservée au cours du temps. On
peut facilement le vérifier : n ± = Proba[S z ~ ±n/2] = ( l/J(t) 1(1±)(±1)11/J(t)) =
J drll/J±(r, t)l 2 = este car [H, 1 ± )( ± I] = O. L'origine de cette observation vient de
ce que le champ magnétique est supposé aligné avec Uz ; le spin effectue donc un
mouvement de précession autour de Uz qui ne change pas sa projection selon cette
direction.
Nous étudions l'évolution de la position moyenne du paquet d'ondes que nous
séparons en deux contributions (r)t/f(t) = (l/l+(t)lrll/J+(t)) + (l/J_(t)lrll/J-(t)). Il est
instructif de considérer
(8.101)
caractérisant le centre du paquet d'ondes pour chaque état de spin. En utilisant à
nouveau que [H, 1 ± )( ± I] = 0 nous obtenons l' équation du mouvement (théorème
d'Ehrenfest)
d2
( · )
2
n
M dt2 (r)t/l±(t) = ~ ([H, [H, r]])t/f±(t) ~ ± ; (VBzCt))t/l± (t)"
(8.102)
-7
Supposant le gradient de champ dirigé verticalement V Bz ~ UzOzBz, nous constatons que les centres des deux paquets d'onde suivent des trajectoires symétriques
par rapport au plan xOy (figure 8.8). Notons qu'il y a un léger abus à dessiner les
deux trajectoires sur la figure 8.8. C'est seulement lorsque l' atome est détecté (sur
l'écran), que l'on peut dire s'il est en haut ou en bas, au moment de la réduction du
paquet d'ondes. Supposant de plus le gradient de champ uniforme et que la particule
a initialement une vitesse voi1x, nous obtenons
(8.103)
162
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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
que dans le plan de symétrie vertical xOz de l'aimant (sinon elle violerait l'une des
-7
quatre équations de Maxwell, div B = 0) ! Ces approximations nous permettent de
nous limiter à un hamiltonien approché
(8.99)
Nous notons 11/J(t)) l'état quantique de la particule. Il sera commode pour la suite de
décomposer cet état dans la base des états propres de S z comme
11/J(t)) = 11/J+(t)) ® 1 +) + 11/J- (t)) ® 1-)
(8.100)
où 11/J±(t)) décrit l'état orbital. Supposons que la partie orbitale, associée à deux fonctions d ' onde If!± (r, t) = ( ( ri ® ( ± 1)11/f(t) ) , décrive un paquet d'ondes envoyé sur le
Stern & Gerlach (en fait deux paquets d'onde, un pour chaque état de spin).
Une première observation importante est que la probabilité pour que la particule
se trouve dans l'état de spin 1 ± ), notée n±, est conservée au cours du temps. On
peut facilement le vérifier : n ± = Proba[S z ~ ±n/2] = ( l/J(t) 1(1±)(±1)11/J(t)) =
J drll/J±(r, t)l 2 = este car [H, 1 ± )( ± I] = O. L'origine de cette observation vient de
ce que le champ magnétique est supposé aligné avec Uz ; le spin effectue donc un
mouvement de précession autour de Uz qui ne change pas sa projection selon cette
direction.
Nous étudions l'évolution de la position moyenne du paquet d'ondes que nous
séparons en deux contributions (r)t/f(t) = (l/l+(t)lrll/J+(t)) + (l/J_(t)lrll/J-(t)). Il est
instructif de considérer
(8.101)
caractérisant le centre du paquet d'ondes pour chaque état de spin. En utilisant à
nouveau que [H, 1 ± )( ± I] = 0 nous obtenons l' équation du mouvement (théorème
d'Ehrenfest)
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Supposant le gradient de champ dirigé verticalement V Bz ~ UzOzBz, nous constatons que les centres des deux paquets d'onde suivent des trajectoires symétriques
par rapport au plan xOy (figure 8.8). Notons qu'il y a un léger abus à dessiner les
deux trajectoires sur la figure 8.8. C'est seulement lorsque l' atome est détecté (sur
l'écran), que l'on peut dire s'il est en haut ou en bas, au moment de la réduction du
paquet d'ondes. Supposant de plus le gradient de champ uniforme et que la particule
a initialement une vitesse voi1x, nous obtenons
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