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8.2. Le spin
est donc le produit tensoriel de l'espace des états orbitaux et de l' espace des états
de spin ..Yé7 = &orb © ~pin (plus haut nous avions adopté la notation ft1 = &orb).
Une base orthonormée de ..Yé7 est par exemple { 1 r) © 1 cr)}, où 1 cr = ± ) décrit les deux
états de spin. Soit l l/t) E ff', la fonction d'onde correspondante est donc une fonction
d'onde à deux composantes (un spineur) : l/t
très proche de 2 (cf. encadrés ci-dessous). Le moment magnétique de l'électron se
décompose comme
-+ M-+
M-+
q e (-+ ri)
1
1
M = orb + spin = - 2 e + ge;:, où 9e ~ 2
(8.89)
me
-+ -+ ri
Notons qu'il n'est pas proportionnel au moment cinétique total J ={+,::,.Le couplage
entre le moment magnétique de 1 'électron et le champ magnétique ï1 = rouf est donné
par (8.79). En réintroduisant le terme diamagnétique et le potentiel scalaire V(t) nous
obtenons finalement l'hamiltonien
où
(8.90)
L'équation de Schrodinger pour cet hamiltonien est appelée équation de Pauli. Plus
généralement cet hamiltonien décrit toute particule (me --7 m , qe --7 q & Ye --7 y) non
relativiste de spin s = 1/ 2 chargée électriquement (q * 0) ou non (q = 0 avec y * 0
en général).
Couplage minimal et supersymétrie de l'équation de Pauli pour fle = 2.
La valeur du facteur de Lancié électronique très proche de 2 a suscité la recherche
d'une explication. Une élégante approche de cette question a été proposée par
J.-M. Lévy-Leblond [Commun. Math. Phys. 6, 286 (1967)] soulignant le rôle de
l'invariance galiléenne. L'exigence d'invariance sous les transformations spatiotemporelles de Galilée et le choix de couplage minimal, i.e. lintroduction du couplage avec le champ électromagnétique via la substitution p ~ p- qeA dans l'hamiltonien libre, conduisent à la valeur du facteur de Lancié ge = 2. Le fait que cette
valeur apparaisse dans la théorie quantique relativiste de Dirac, moyennant des
hypothèses de même nature, a engendré une certaine confusion sur l'origine relativiste de la valeur ge = 2. Cette valeur permet de respecter aussi bien l'invariance
sous le groupe de Lorentz (relativité einsteinienne) que l'invariance galiléenne.
Nul besoin de relativité restreinte. La symétrie derrière cette observation porte le
nom de« supersymétrie» [25 ], en référence à la structure particulière de l'hamiltonien de Pauli pour V= 0 :
1
2
HPauli = - 2
- Q ,
me
où
Q d~f 2 ";t ( ....
Â)
- -.) . p - qe
n
(8.91)
est appelée la« charge supersymétrique » (la quantité conservée). La relation (8.85)
nous permet en effet de vérifier que [at · (p- qeA)J2 = (p - qeA) 2 - qeniT ·B.
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Une base orthonormée de ..Yé7 est par exemple { 1 r) © 1 cr)}, où 1 cr = ± ) décrit les deux
états de spin. Soit l l/t) E ff', la fonction d'onde correspondante est donc une fonction
d'onde à deux composantes (un spineur) : l/t
très proche de 2 (cf. encadrés ci-dessous). Le moment magnétique de l'électron se
décompose comme
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(8.89)
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obtenons finalement l'hamiltonien
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L'équation de Schrodinger pour cet hamiltonien est appelée équation de Pauli. Plus
généralement cet hamiltonien décrit toute particule (me --7 m , qe --7 q & Ye --7 y) non
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Couplage minimal et supersymétrie de l'équation de Pauli pour fle = 2.
La valeur du facteur de Lancié électronique très proche de 2 a suscité la recherche
d'une explication. Une élégante approche de cette question a été proposée par
J.-M. Lévy-Leblond [Commun. Math. Phys. 6, 286 (1967)] soulignant le rôle de
l'invariance galiléenne. L'exigence d'invariance sous les transformations spatiotemporelles de Galilée et le choix de couplage minimal, i.e. lintroduction du couplage avec le champ électromagnétique via la substitution p ~ p- qeA dans l'hamiltonien libre, conduisent à la valeur du facteur de Lancié ge = 2. Le fait que cette
valeur apparaisse dans la théorie quantique relativiste de Dirac, moyennant des
hypothèses de même nature, a engendré une certaine confusion sur l'origine relativiste de la valeur ge = 2. Cette valeur permet de respecter aussi bien l'invariance
sous le groupe de Lorentz (relativité einsteinienne) que l'invariance galiléenne.
Nul besoin de relativité restreinte. La symétrie derrière cette observation porte le
nom de« supersymétrie» [25 ], en référence à la structure particulière de l'hamiltonien de Pauli pour V= 0 :
1
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HPauli = - 2
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est appelée la« charge supersymétrique » (la quantité conservée). La relation (8.85)
nous permet en effet de vérifier que [at · (p- qeA)J2 = (p - qeA) 2 - qeniT ·B.
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