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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
• Spineur
Un vecteur d'état général est de la forme : 11/t) = If!+ 1 + ) + l/t- 1- ) . Le doublet (If!+, If!-)
formé par les composantes du vecteur d'état est appelé un spineur.
• Rotation des spineurs
Puisque les spineurs sont des objets à deux composantes, ils engendrent une représentation du groupe des rotations de dimension deux, une des représentations dont
nous n'avions pas trouvé d'utilité dans le cadre de la physique classique (ce qui fait
des spineurs des objets de nature purement quantique). Dans l' espace des états de
spin, les matrices de rotation sont représentées par des matrices 2 x 2
R(
;z. )
_iJ.s
_iJ.if
tJ=e ri
=e 2
(8.87)
formant un groupe appelé le groupe SU(2) : « S »pour« spécial» detR(iJ) = 1, « U »
pour « unitaire », R(iJ)- 1 = R(iJ)t , et « 2 » indiquant que la norme 11/1+1 2 + 11/t-1
2 de
signature (+,+)est conservée sous la rotation.
Nous posons iJ = eil, où il est unitaire, et introduisons la notation cru ~ if · il.
En utilisant que cr~n = 1 2 nous voyons que l'action de la rotation sur le spineur est
donnée par la matrice 2 x 2 :
1 R(iJ) = 12 cos(B/2) - i cru sin(B/2) 1
(8.88)
Exercice 8.6 (MF) Soit le vecteur iJ = e (-sin cp ilx +cos cp ily). Comparer le vecteur
-+
R(B)I +)au vecteur 1 il,+) de l'exercice 8.5. Interpréter ce calcul.
Remarque: Une rotation de br n'est pas l'identité dans ~pin
Nous constatons que l'action d'une rotation d'un angle br sur un état de spin n' est
pas identique à l'identité. En effet, l'équation (8.88) montre que R(2rrÜ) = -1. Le spineur ne revient dans son état initial qu'après une rotation R(4rrÜ) = l. Cette remarque
trouve son origine dans la topologie particulière du groupe des rotations : le vecteur
ë indexant les rotations appartient à une sphère de rayon rr et dont nous devons identifier deux points opposés à la surface, 'R(+rrÜ) = 'R(-rrÜ). Les spineurs engendrent des
représentations projectives du groupe des rotation : à chaque rotation, correspondent
deux éléments de SU(2) différant par une phase (cf. [5, 35 , 13]). Dans l'annexe 8.A,
nous discuterons une expérience mettant en évidence la propriété Rspin(2rrÜ) = - 1.
8.2.3 Le modèle non relativiste de l'électron :
équation de Pauli
Nous avons discuté l'existence du degré de liberté de spin dans le paragraphe précédent. Pour spécifier l' état quantique d ' un électron, il nous faut à la fois caractériser
son état de spin et son état dans l'espace physique. L'espace de Hilbert de l'électron
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• Spineur
Un vecteur d'état général est de la forme : 11/t) = If!+ 1 + ) + l/t- 1- ) . Le doublet (If!+, If!-)
formé par les composantes du vecteur d'état est appelé un spineur.
• Rotation des spineurs
Puisque les spineurs sont des objets à deux composantes, ils engendrent une représentation du groupe des rotations de dimension deux, une des représentations dont
nous n'avions pas trouvé d'utilité dans le cadre de la physique classique (ce qui fait
des spineurs des objets de nature purement quantique). Dans l' espace des états de
spin, les matrices de rotation sont représentées par des matrices 2 x 2
R(
;z. )
_iJ.s
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tJ=e ri
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(8.87)
formant un groupe appelé le groupe SU(2) : « S »pour« spécial» detR(iJ) = 1, « U »
pour « unitaire », R(iJ)- 1 = R(iJ)t , et « 2 » indiquant que la norme 11/1+1 2 + 11/t-1
2 de
signature (+,+)est conservée sous la rotation.
Nous posons iJ = eil, où il est unitaire, et introduisons la notation cru ~ if · il.
En utilisant que cr~n = 1 2 nous voyons que l'action de la rotation sur le spineur est
donnée par la matrice 2 x 2 :
1 R(iJ) = 12 cos(B/2) - i cru sin(B/2) 1
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Exercice 8.6 (MF) Soit le vecteur iJ = e (-sin cp ilx +cos cp ily). Comparer le vecteur
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Remarque: Une rotation de br n'est pas l'identité dans ~pin
Nous constatons que l'action d'une rotation d'un angle br sur un état de spin n' est
pas identique à l'identité. En effet, l'équation (8.88) montre que R(2rrÜ) = -1. Le spineur ne revient dans son état initial qu'après une rotation R(4rrÜ) = l. Cette remarque
trouve son origine dans la topologie particulière du groupe des rotations : le vecteur
ë indexant les rotations appartient à une sphère de rayon rr et dont nous devons identifier deux points opposés à la surface, 'R(+rrÜ) = 'R(-rrÜ). Les spineurs engendrent des
représentations projectives du groupe des rotation : à chaque rotation, correspondent
deux éléments de SU(2) différant par une phase (cf. [5, 35 , 13]). Dans l'annexe 8.A,
nous discuterons une expérience mettant en évidence la propriété Rspin(2rrÜ) = - 1.
8.2.3 Le modèle non relativiste de l'électron :
équation de Pauli
Nous avons discuté l'existence du degré de liberté de spin dans le paragraphe précédent. Pour spécifier l' état quantique d ' un électron, il nous faut à la fois caractériser
son état de spin et son état dans l'espace physique. L'espace de Hilbert de l'électron
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