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8.2. Le spin
Le cas du spin s = 1/2 joue un rôle particulièrement important, aussi nous étudions
cette situation en détail. Dans ce cas l'espace de Hilbert des états de spin est de dimension deux. Les vecteurs propres de S z forment une base {11/ 2, 1/2 ), 11/2, -1/2)}
de l'espace Y'és'pin· Puisque s = 1/2 est une propriété intrinsèque, nous omettrons de
préciser s dans les deux vecteurs et les noterons plus simplement 1+)et1- ). Construisons les opérateurs de moment cinétique. En utilisant les équations (8.31 , 8.40) nous
exprimons les opérateurs dans la base {I + ), 1- )} (en confondant l' opérateur et sa
représentation matricielle) :
(8.81)
Les trois composantes de l'opérateur de spin peuvent être écrites sous la forme
(8.82)
où les trois matrices
(
0 -i)
0-y = i 0
(8.83)
sont appelées les matrices de Pauli. Retenons les propriétés suivantes : elles sont de
carré égal à l'identité, a-f = 1, et anticommutent entre elles a-ia-J = -a- 1 a-i pour i * j .
Ces propriétés peuvent être écrites de manière compacte
(8.84)
Ces propriétés nous permettent de retrouver que S
2
= 3n
2 /4 et [S ii S 1 ] = inEiJkS k·
La relation (8.84) peut être reécrite en introduisant deux vecteurs A et 11 (si ce sont
des opérateurs, ils sont proportionnels à 1 'opérateur identité de Y'és'pin) :
--;
--;
--;
--;
--;
--;
(â- · A)(â- · B) =A · B + i â- ·(A x B).
(8.85)
Exercice 8.5 (MF) (Important) Soit a un vecteur unitaire. On note cru ~ â- · a .
Montrer que (a-u)
2 = 1. Exprimer la matrice a-u en fonction des deux angles (}, 'P
permettant de repérer la direction de a en coordonnées sphériques. Préciser les vecteurs propres de a . s, notés 1 a,±>. dans la base des vecteurs propres de s 2 , notés 1 aZI ± > = 1 ± ).Calculer les valeurs moyennes des trois composantes du spin dans
l'état 1 a,+). Montrer que, dans cet état, le spin pointe en moyenne dans la direction
du vecteur
(8.86)
(l'exercice sera complété par l'étude de l'exercice 8.10).
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Le cas du spin s = 1/2 joue un rôle particulièrement important, aussi nous étudions
cette situation en détail. Dans ce cas l'espace de Hilbert des états de spin est de dimension deux. Les vecteurs propres de S z forment une base {11/ 2, 1/2 ), 11/2, -1/2)}
de l'espace Y'és'pin· Puisque s = 1/2 est une propriété intrinsèque, nous omettrons de
préciser s dans les deux vecteurs et les noterons plus simplement 1+)et1- ). Construisons les opérateurs de moment cinétique. En utilisant les équations (8.31 , 8.40) nous
exprimons les opérateurs dans la base {I + ), 1- )} (en confondant l' opérateur et sa
représentation matricielle) :
(8.81)
Les trois composantes de l'opérateur de spin peuvent être écrites sous la forme
(8.82)
où les trois matrices
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sont appelées les matrices de Pauli. Retenons les propriétés suivantes : elles sont de
carré égal à l'identité, a-f = 1, et anticommutent entre elles a-ia-J = -a- 1 a-i pour i * j .
Ces propriétés peuvent être écrites de manière compacte
(8.84)
Ces propriétés nous permettent de retrouver que S
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La relation (8.84) peut être reécrite en introduisant deux vecteurs A et 11 (si ce sont
des opérateurs, ils sont proportionnels à 1 'opérateur identité de Y'és'pin) :
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(8.85)
Exercice 8.5 (MF) (Important) Soit a un vecteur unitaire. On note cru ~ â- · a .
Montrer que (a-u)
2 = 1. Exprimer la matrice a-u en fonction des deux angles (}, 'P
permettant de repérer la direction de a en coordonnées sphériques. Préciser les vecteurs propres de a . s, notés 1 a,±>. dans la base des vecteurs propres de s 2 , notés 1 aZI ± > = 1 ± ).Calculer les valeurs moyennes des trois composantes du spin dans
l'état 1 a,+). Montrer que, dans cet état, le spin pointe en moyenne dans la direction
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(l'exercice sera complété par l'étude de l'exercice 8.10).
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