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8.1. Moment cinétique
8.1.5 Opérateurs scalaires, vectoriels
Nous pouvons maintenant donner la définition des opérateurs scalaires, vectoriels,
etc. Nous notons R(B) l'opérateur unitaire représentant l' action de la rotation sur les
vecteurs de l'espace de Hilbert .Ye (dans cette section, nous spécifions la nature opératorielle à l'aide du chapeau). Lors d'une rotation, un vecteur d'état est transformé
selon l 1//) = R(B)l l/J) et un opérateur  est transformé en un opérateur Â' selon :
(8.68)
a) Opérateur scalaire
Par définition un opérateur S est scalaire s'il est invariant sous les rotations : S' = S .
Autrement dit 1 'opérateur doit commuter avec les générateurs du groupe :
(8.69)
b) Opérateur vectoriel
A
....
Considérons un opérateur vectoriel V. Lors de la rotation infinitésimale, le système
est déplacé der en r' avec r' ~ r+Bxr. L'opérateur vectoriel est transformé comme:
:;
~
__..,
~
v' ~ v- ex v.
(8.70)
Comme pour les translations, nous devons prendre garde aux signes : si la transformation des coordonnées est r' ~ r + B X r, éq. (8.16), la transformation del' opérateur
"'
,.,
__..,
"'
fait intervenir le signe opposé r' ~ r - 8 X r, éq. (8.70).
D'autre part l'opérateur est transformé à l'aide de l'opérateur unitaire:
A
A
A
1
A
A
--; f
A ;t. T--? A ;t. t
T--?
;:?
--; --;
V = R(ti) V R(ti) = V - h[tf. J, V]+ ...
(8.71)
En identifiant les deux relations nous obtenons :
(8.72)
Cette relation définit l'action de la rotation infinitésimale sur l'opérateur vectoriel.
On peut donc considérer (8.72) comme l'équation définissant la nature vectorielle
de l' opérateur. Remarquons que les relations (8.24) et (8.72) ont des structures très
similaires. Nous examinerons les conséquences de cette observation dans le problème 13.1 page 261.
Exercice 8.3 (F) Calculer explicitement les commutateurs [êz, .X], [êz, y] et [êz, z].
A A2
Puis [l'i, r ].
149