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c
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0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
polynômes de Legendre Pe(x) sont définis dans l'annexe A) [30] :
Y;J'(B, cp) = (-l)(m+lm[)/2 (2f + l)(f - lml)! p lml( B) irni.p
cos e .
4n(f +!ml)!
e
c) Deux propriétés des harmoniques sphériques
• Conjugaison complexe: [Y;J'(B, cp)]* = (-l)my em(e, cp).
(8.65)
• Action de la parité: Y;J'(n - e, cp + n) = (-l)eY;J'(B, cp). Les harmoniques sphériques
sont donc états propres de l'opérateur de parité (le moment cinétique et la parité
peuvent être diagonalisés simultanément car ê est un opérateur pair, cf. exercice 6.7).
On pourra avoir une intuition de cette propriété en faisant 1 'exercice 8.2.
d) Action des rotations sur les fonctions scalaires
Reprenons la remarque faite ci-dessus. Si nous considérons une fonction quelconque,
celle-ci peut donc se décomposer comme
2 :
OO
+e
f(B, cp) = I I f e,m Y;J'(B, cp)
(8.66)
C=O m=-e
-+
nous avons noté que les trois composantes de t n' ont pas d'éléments de matrice entre
vecteurs I t, m) de t différents. Autrement dit, l'opérateur de rotation a une structure
diagonale par blocs :
< t m le-ie-ê;nl t' m') ex: ô
,
,
e,e'
(8.67)
ce qui indique que les composantes f e,m pour différents t ne sont pas mélangées
lors d' une rotation. Nous donnerons une illustration de la décomposition (8.66) dans
l'exercice 8.8. Plus généralement la décomposition d'une fonction dépendant également de la coordonnée radiale s'écrit: JCr) = L ~o f e(r) L~~-e f e,m Y;J'(B, cp) où f e(r)
sont des fonctions radiales (cf. exercice 8.8).
Exercice 8.2 (F) Nous introduisons C~(B, cp) ~ -!Ji; Y;J'(B, cp). Exprimer les
harmoniques sphériques c~n et c;n en fonction des coordonnées cartésiennes
du vecteur position sur la sphère. Exprimer les fonctions d' onde associées aux
états (8.49, 8.50, 8.51 ).
2. Cette décomposition n' est peut-être pas totalement étrangère au lecteur : c'est l'esprit des développements multipolaires utilisés en électrostatique. Le champ électrique généré par une distribution
de charges arbitraire peut être développé comme : le champ coulombien associé à la charge totale, la
contribution d' un dipôle, d' un quadrupôle, etc.
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polynômes de Legendre Pe(x) sont définis dans l'annexe A) [30] :
Y;J'(B, cp) = (-l)(m+lm[)/2 (2f + l)(f - lml)! p lml( B) irni.p
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c) Deux propriétés des harmoniques sphériques
• Conjugaison complexe: [Y;J'(B, cp)]* = (-l)my em(e, cp).
(8.65)
• Action de la parité: Y;J'(n - e, cp + n) = (-l)eY;J'(B, cp). Les harmoniques sphériques
sont donc états propres de l'opérateur de parité (le moment cinétique et la parité
peuvent être diagonalisés simultanément car ê est un opérateur pair, cf. exercice 6.7).
On pourra avoir une intuition de cette propriété en faisant 1 'exercice 8.2.
d) Action des rotations sur les fonctions scalaires
Reprenons la remarque faite ci-dessus. Si nous considérons une fonction quelconque,
celle-ci peut donc se décomposer comme
2 :
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+e
f(B, cp) = I I f e,m Y;J'(B, cp)
(8.66)
C=O m=-e
-+
nous avons noté que les trois composantes de t n' ont pas d'éléments de matrice entre
vecteurs I t, m) de t différents. Autrement dit, l'opérateur de rotation a une structure
diagonale par blocs :
< t m le-ie-ê;nl t' m') ex: ô
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(8.67)
ce qui indique que les composantes f e,m pour différents t ne sont pas mélangées
lors d' une rotation. Nous donnerons une illustration de la décomposition (8.66) dans
l'exercice 8.8. Plus généralement la décomposition d'une fonction dépendant également de la coordonnée radiale s'écrit: JCr) = L ~o f e(r) L~~-e f e,m Y;J'(B, cp) où f e(r)
sont des fonctions radiales (cf. exercice 8.8).
Exercice 8.2 (F) Nous introduisons C~(B, cp) ~ -!Ji; Y;J'(B, cp). Exprimer les
harmoniques sphériques c~n et c;n en fonction des coordonnées cartésiennes
du vecteur position sur la sphère. Exprimer les fonctions d' onde associées aux
états (8.49, 8.50, 8.51 ).
2. Cette décomposition n' est peut-être pas totalement étrangère au lecteur : c'est l'esprit des développements multipolaires utilisés en électrostatique. Le champ électrique généré par une distribution
de charges arbitraire peut être développé comme : le champ coulombien associé à la charge totale, la
contribution d' un dipôle, d' un quadrupôle, etc.
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