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8.1. Moment cinétique
a) Orthonormalisation et relation de fermeture
L'orthonormalisation des états s'exprime comme:
J dQ Y;f1(B, cp) y;' (B, cp)* = <5e,e' <5m,m'
(8.59)
où dQ ~ d cos Bdcp =dB sin Bdcp. La relation de fermeture s'écrit:
OO
+{
< e, cp 1 e'' cp' > = I I Y;?(B, cp) Y';(B'' cp')* = <5(cos e - cos B') <5(cp - cp'). (8.60)
{=0 m = - {
Notons que <5(cos e - cos B') = 1 si~BI <5(8 - B') (cf. annexe 2.B, éq. (2.62)).
b) Principe du calcul des harmoniques sphériques
(i) Commençons par chercher yee· Nous savons que Yë"e(e, cp) = f(B) e- iecp. En écrivant e_ ye e(e, cp) = 0 nous voyons que (-f 8 + ta~e)f(B) = 0 d'où nous déduisons
aisément que Yë"e(e, cp) ex (sine/ e-itcp . Enfin nous normalisons la fonction (le
calcul de la normalisation fait intervenir la fonction beta d'Euler, cf. annexe A ) :
y -e e - _1_
e ( ' cp) - 2e e!
(2e + 1)! ( . B)e - iecp
4
rr
sm
e
(8.61)
(ii) Construisons les y~n pour m > -e par applications successives de l+ en utilisant (8.108). Par exemple: Y?ce,cp) = n~e+Y! 1 (B,cp) = .j;f;cfe + t~ e)sine =
-fj; cos e. Une nouvelle application del+ nous donne Yf .
Donnons les expressions des premières harmoniques sphériques :
0
1
Y 0 (B, cp) = _ ~
v4rr
(8.62)
Y\'(11, cp) = {f cos Il
et Yf' (Il, cp) = + .,fi; sin Ile±;• (8.63)
~(Il, cp) = ./J,; (3 cos
2 11- !),
Yi ' (Il, cp) = +~cos li sin Il e±i•
et Yi
2
(11, cp) = ~ sin
2 li e±
2 ;• .
(8.64)
On peut donner l'expression générale des harmoniques sphériques qui s'expriment
à l'aide des polynômes de Legendre généralisés P~(x) ~ (1 - x
2
r1
2 ; ; 11 P e(x) (où les
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