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> a.
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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
n'est pas un ECOC dans l'espace de Hilbert des états 1 r). L'opérateur de moment
orbital (le générateur infinitésimal des rotations) n' agit que sur la partie angulaire
des fonctions d'onde et les états 1 e, m ) ne caractérisent que la partie angulaire de
l'état quantique. Les fonctions d'onde correspondantes, appelées les harmoniques
sphériques, sont notées
(8.53)
où 1 (), 'P) désigne l'état angulaire de la particule localisée dans la direction ( (), 'P ), i.e.
l'analogue, sur la sphère, d'un vecteur 1 r) décrivant l'état localisé dans JR..
3 .
Partant de la représentation de 1 'opérateur agissant dans 1 'espace des fonctions,
l = -inr x V, nous pouvons vérifier (le calcul est fastidieux) que les opérateurs
différentiels en coordonnées sphériques s'expriment comme :
(8.54)
±i111 (
a i a )
e ± = fl e T ± ae + tan () a'P
(8.55)
e2 = --n2 - + - - - + - - - - .
(
a
2
1 a
1 a
2
)
ae 2
tan () ae sin 2 () 8(/) 2
(8.56)
Nous reconnaissons la partie angulaire du Laplacien en coordonnées sphériques.
Nous pouvons écrire le Laplacien comme:
1 a 2
l 2 a
2
2 a
l
2
~ = - - r - - - = - + - - - - -
r ar 2
n 2 r 2 ar 2 r ar n 2 r 2 .
(8.57)
Il n'est pas surprenant de trouver que l
2 est un « morceau » du Laplacien. En effet,
à un facteur;: près, ce dernier représente l'énergie cinétique Ec = 2 ~p
2 = - ;:~.
Nous interprétons donc le dernier terme du Laplacien (8.57) comme un terme d' énergie cinétique de rotation.
• États propres de lz
Les états propres de ez sont des fonctions :
ne sont univaluées, i.e.
(8.58)
Dans le cas des moments orbitaux, la possibilité de moments cinétiques demi-entiers
est donc exclue.
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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
n'est pas un ECOC dans l'espace de Hilbert des états 1 r). L'opérateur de moment
orbital (le générateur infinitésimal des rotations) n' agit que sur la partie angulaire
des fonctions d'onde et les états 1 e, m ) ne caractérisent que la partie angulaire de
l'état quantique. Les fonctions d'onde correspondantes, appelées les harmoniques
sphériques, sont notées
(8.53)
où 1 (), 'P) désigne l'état angulaire de la particule localisée dans la direction ( (), 'P ), i.e.
l'analogue, sur la sphère, d'un vecteur 1 r) décrivant l'état localisé dans JR..
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Partant de la représentation de 1 'opérateur agissant dans 1 'espace des fonctions,
l = -inr x V, nous pouvons vérifier (le calcul est fastidieux) que les opérateurs
différentiels en coordonnées sphériques s'expriment comme :
(8.54)
±i111 (
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e ± = fl e T ± ae + tan () a'P
(8.55)
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(8.56)
Nous reconnaissons la partie angulaire du Laplacien en coordonnées sphériques.
Nous pouvons écrire le Laplacien comme:
1 a 2
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~ = - - r - - - = - + - - - - -
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n 2 r 2 ar 2 r ar n 2 r 2 .
(8.57)
Il n'est pas surprenant de trouver que l
2 est un « morceau » du Laplacien. En effet,
à un facteur;: près, ce dernier représente l'énergie cinétique Ec = 2 ~p
2 = - ;:~.
Nous interprétons donc le dernier terme du Laplacien (8.57) comme un terme d' énergie cinétique de rotation.
• États propres de lz
Les états propres de ez sont des fonctions :
ne sont univaluées, i.e.
(8.58)
Dans le cas des moments orbitaux, la possibilité de moments cinétiques demi-entiers
est donc exclue.
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