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8.1. Moment cinétique
Remarque : ECOC
En général ] 2 et Jz ne forment pas un ECOC de l'espace de Hilbert, sauf si l'on ne s'intéresse qu'aux degrés de liberté de rotation, par exemple si l'on étudie le mouvement
de rotation d'une molécule rigide, ce qui revient à considèrer la mécanique quantique
d'une particule fictive sur une sphère. En revanche, le mouvement d'une particule se
mouvant dans l'espace tridimensionnel est caractérisé par trois degrés de liberté; les
vecteurs d'états pourront être décomposés dans des bases d'états symétriques sous
les rotations indexés par trois nombres quantiques : {I r,j, m )), où r est un nombre
quantique associé à une quantité scalaire (lénergie par exemple) associée au degré
de liberté radial. L'orthonormalisation s'écrit alors: ( r,j, mir',)', m' ) = c5r,r' ÔjJ' c5m,m';
si r est un paramètre continu on procède à la substitution c5r,r' -7 c5(r - r'). Nous noterons lf:(r,j) les sous espaces propres de ]
2 de dimension 2) + 1.
Figure 8.4 - Représentation des états lj,m).
Dans l'état IJ, m ), la composante Jz est fixée à
m E U. j - l, · · · , - j} alors que les autres composantes
fluctuent: le vecteur] est donc délocalisé sur un
cercle. Chaque cône, engendré par la rotation du
vecteur pour une projection Jz fixée, représente donc
un état 1), m ). Les fluctuations transverses sont
minimales dans l'état 1). ±) ), mais ne s'annulant pas,
elles sont respon sab les de ce que le module 11]11, égal
à ../JU + l ), reste toujours strictement supérieur à lml.
• Fluctuations des composantes du moment cinétique
Étudions les fluctuations des composantes du moment cinétique associées à l'état
propre de 1 2 , donc (~lz)IJ,m > = O. En écrivant 1; + J~ = 1-+i - 1; et en utilisant que
les états 1J, m) sont symétriques sous les rotations autour de 1 'axe Oz, R( ei1 2 )1}, m) =
e-imel j, m ). On obtient facilement :
(Mx)1J.m ) = (My)IJ,m ) = ~ ~j(j + 1)- m
2 •
(8.52)
Les fluctuations minimales de l x sont donc (~lx) 1 J,J > = n -flï2. Nous pouvons préciser la remarque faite plus haut sur les valeurs propres n -.J j(j + 1) de llifl. La valeur
n
2 j(j + 1) peut être décomposée comme n
2
(j2 + j/2 + j/2) : dans l'état 1 j, j) la composante 1 2 ~ nj ne fluctue pas, cependant, même si (l x)I J,m) = (ly)IJ,m) = 0,
les fluctuations (quantiques) de ces composantes apportent chacune une contribution
n
2 j/2 au module carré (figure 8.4).
8.1.4 Moment orbital et harmoniques sphériques
Revenons sur le cas du moment orbital. Nous notons 1 e, m) les états propres de l 2
et f 2 et cherchons les fonctions d ' onde correspondantes. Gardons en tête que {ê 2 , f 2 }
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de rotation d'une molécule rigide, ce qui revient à considèrer la mécanique quantique
d'une particule fictive sur une sphère. En revanche, le mouvement d'une particule se
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si r est un paramètre continu on procède à la substitution c5r,r' -7 c5(r - r'). Nous noterons lf:(r,j) les sous espaces propres de ]
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Figure 8.4 - Représentation des états lj,m).
Dans l'état IJ, m ), la composante Jz est fixée à
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elles sont respon sab les de ce que le module 11]11, égal
à ../JU + l ), reste toujours strictement supérieur à lml.
• Fluctuations des composantes du moment cinétique
Étudions les fluctuations des composantes du moment cinétique associées à l'état
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les états 1J, m) sont symétriques sous les rotations autour de 1 'axe Oz, R( ei1 2 )1}, m) =
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2 •
(8.52)
Les fluctuations minimales de l x sont donc (~lx) 1 J,J > = n -flï2. Nous pouvons préciser la remarque faite plus haut sur les valeurs propres n -.J j(j + 1) de llifl. La valeur
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les fluctuations (quantiques) de ces composantes apportent chacune une contribution
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8.1.4 Moment orbital et harmoniques sphériques
Revenons sur le cas du moment orbital. Nous notons 1 e, m) les états propres de l 2
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