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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
Comment interpréter ces résultats dans le cadre de la discussion de la section 8.1.2 ? Comme toute quantité physique, les vecteurs d'état de l'espace de Hilbert
..Yt7 (ou leurs représentations sous forme de fonctions d'onde) engendrent une représentation du groupe des rotations. Cette représentation est réductible. En construisant
les états propres de J~, l z nous avons identifié les représentations irréductibles du
groupe des rotations, i.e. les plus petits sous espaces de Ye stables sous les rotations,
classés par le nombre quantique}, la valeur propre de« l'opérateur de Casimir» / 2 .
• Exemple : sous espace 02'(1)
Considérons le sous espace 02'(1) de dimension 3 dont une base est
{ 11, 1 ) , 11, 0), 11, -1 ) } . Nous pouvons utiliser les relations (8.32) et (8.40)
pour obtenir les matrices représentant l'opérateur de moment cinétique dans le sous
espace. On obtient les trois matrices :
et 1?) = 1ï [ ~ ~ ~ ] ·
0 0 -1
(8.48)
On vérifie que (f
1
))
2 = 21ï
2 • Nous retrouvons les matrices (8.23) calculées dans la
section 8.1.2 dans 1' étude du groupe des rotations (i.e. n'ayant rien de quantique).
Ceci nous montre que 02'(1) est le sous espace de ..Yt7 se transformant comme R3, ou
inversement un vecteur de R 3 est un objet de« spin» (moment cinétique intrinsèque)
j = 1. Pour insister sur ce point, nous suivons la démarche inverse de celle de la
section 8.1.2 : considérons les trois vecteurs d'état
1
ll,x)= Yl(-ll,l)+ll,-1))
(8.49)
1
11, y> = Y2 (l l, 1 > + 11, -1 >)
(8.50)
11,z)=ll,0) .
(8.51)
·;::::
ij:
Nous vérifions sans peine que, dans la base {11, x ), 11, y), 11, z) }, les composantes
0
u
de 1' opérateur de moment cinétique sont données par les matrices (8.18), au facteur 1ï
près.
Autrement dit, les composantes du vecteur d'état dans la base
{ 11, x), 11, y ) , 11, z ) } se mélangent lors d'une rotation exactement comme les
trois composantes cartésiennes d'un vecteur de R 3 . L'exercice 8.2 précisera cette
remarque.
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