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8.1. Moment cinétique
Ces deux relations définissent le vecteur 1 j, m ). Si la paramétrisation des valeurs
propres de l z est naturelle et revient à extraire un facteur dimensionné, celle des
valeurs propres de f
2 est guidée par .... sa commodité connaissant le résultat !
Nous montrons maintenant que jet m sont quantifiés.
• Propriété
À j fixé, les valeurs propres de l z sont comprises entre - j et + j.
Démonstration : La norme du vecteur J + 1 j, m) est :
lll+U, m >11
2
= < j, m 11-l+U, m > = n
2 (j(j + 1) - m(m + 1)) ~ o
où nous avons utilisé (8.30). Cette relation conduit à 1 'inégalité sur m :
-(j + 1) ~ m ~ j.
D'autre part :
111- 1 j, m )11
2 = ( j, m ll+l - 1 j, m) = n
2 (j(j + 1) - m(m - 1)) ~ 0
où nous avons cette fois utilisé (8.29). Nous obtenons l'inégalité
-j ~ m ~ j+I.
Les inégalités (8.34, 8.36) ne sont compatibles que si
(8.33)
(8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
Nous donnons l'interprétation de ces inégalités : la moyenne d' une des composantes ne peut excéder le module (pour être plus précis : la moyenne du module,
li~ j(j + 1 ), est toujours strictement supérieure à la plus grande des valeurs propres
de l z, nj) :
>
' - v - '
mais pas ~
(8.38)
Le fait que l'inégalité soit stricte signale des contributions des fluctuations quantiques
des composantes l x et l y ne pouvant pas être annulées au profit de la composante l z
(figure 8.4); nous y reviendrons.
• Propriété
L' action des opérateurs J + et J _ génère de nouveaux états propres, de même j (car
[J~, J±] = 0) mais de m différents (car [lz, J ±] * 0).
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