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0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
Une première observation importante est issue du calcul de [Î
2 , lil = lj[1 1 , lil +
[lj, li]lj = in Eijk (ljh + hlj)
1 [l~, lJ = 01
(8.25)
Nous pouvons donner l'interprétation physique de cette relation : puisque J est
le générateur infinitésimal des rotations dans 1' espace de Hilbert, cette relation de
commutation traduit l'invariance de 11111 sous les rotations, i.e. la nature scalaire du
module carré du vecteur (voir§ 8.1.5 ci-dessous).
• Objectif
D'après l'équation (8.25) nous pouvons chercher une base d 'états propres communs
à 1
2 et une des composantes de J Nous choisissons l z.
• Opérateurs)+ et J_
Pour construire le spectre, il est commode d'introduire les deux opérateurs 1± :
1
def l
.
1
± = X± 1 y·
(8.26)
La logique que nous adoptons est très proche de celle qui nous a permis de trouver le
spectre del' oscillateur harmonique ; ces deux opérateurs joueront des rôles similaires
aux opérateurs création et annihilation (7.9, 7.10). Commençons par étudier l'algèbre
que satisfont ces opérateurs :
[lzi l ±J = ±nl+
[l+, l _] = 2n l z·
(8.27)
(8.28)
Nous déduisons deux relations que nous utiliserons à plusieurs reprises par la suite :
1+1- = 1--Y], - 1; + n l z
l _l+ = 1--Y], - 1; - n l z·
• Paramétrisation des vecteurs propres de ] 2 et Jz
(8.29)
(8.30)
Les valeurs propres de 1""*2 sont positives. 11 est commode pour la suite d' indexer
les valeurs propres comme j(j + 1 )n 2 où j ~ 0 (cette paramétrisation est licite car
x H x(x + 1) est une fonction bijective de R+ sur R+).
140
Nous notons li, m) le vecteur propre des deux opérateurs :
11--YJ. li, m) = n
2 j(j + 1) IJ, m) 1
1 l z li, m ) = n m li, m ) 1
(8.31)
(8.32)
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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
Une première observation importante est issue du calcul de [Î
2 , lil = lj[1 1 , lil +
[lj, li]lj = in Eijk (ljh + hlj)
1 [l~, lJ = 01
(8.25)
Nous pouvons donner l'interprétation physique de cette relation : puisque J est
le générateur infinitésimal des rotations dans 1' espace de Hilbert, cette relation de
commutation traduit l'invariance de 11111 sous les rotations, i.e. la nature scalaire du
module carré du vecteur (voir§ 8.1.5 ci-dessous).
• Objectif
D'après l'équation (8.25) nous pouvons chercher une base d 'états propres communs
à 1
2 et une des composantes de J Nous choisissons l z.
• Opérateurs)+ et J_
Pour construire le spectre, il est commode d'introduire les deux opérateurs 1± :
1
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.
1
± = X± 1 y·
(8.26)
La logique que nous adoptons est très proche de celle qui nous a permis de trouver le
spectre del' oscillateur harmonique ; ces deux opérateurs joueront des rôles similaires
aux opérateurs création et annihilation (7.9, 7.10). Commençons par étudier l'algèbre
que satisfont ces opérateurs :
[lzi l ±J = ±nl+
[l+, l _] = 2n l z·
(8.27)
(8.28)
Nous déduisons deux relations que nous utiliserons à plusieurs reprises par la suite :
1+1- = 1--Y], - 1; + n l z
l _l+ = 1--Y], - 1; - n l z·
• Paramétrisation des vecteurs propres de ] 2 et Jz
(8.29)
(8.30)
Les valeurs propres de 1""*2 sont positives. 11 est commode pour la suite d' indexer
les valeurs propres comme j(j + 1 )n 2 où j ~ 0 (cette paramétrisation est licite car
x H x(x + 1) est une fonction bijective de R+ sur R+).
140
Nous notons li, m) le vecteur propre des deux opérateurs :
11--YJ. li, m) = n
2 j(j + 1) IJ, m) 1
1 l z li, m ) = n m li, m ) 1
(8.31)
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