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u
.3
ü
=
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2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
8.1. Moment cinétique
représentées par différents opérateurs), mais quelle que soit la représentation, les trois
générateurs satisfont les relations de commutation (8.19) qui définissent le groupe des
rotations.
Afin de rendre plus explicite l'analogie avec l' étude générale du moment cinétique
en mécanique quantique qui sera menée dans la section suivante, nous exprimons
--+
les générateurs de rotation dans une autre base. Les trois matrices 5 agissent sur le
triplet formé des composantes cartésiennes (Vx , Vy, Vz). Il est commode de regrouper
différemment les composantes :
u ~f V
vo - z
et
def +Vx + iVy
V± = - - - -
Vl
(8.21)
Autrement dit on passe des composantes cartésiennes à ces nouvelles composantes à
l' aide de la transformation unitaire :
(
V +)-(-1/Vl i/Vl O)(Vx)- t(Vx)
Vo -
0
0 1 Vy - 11 Vy .
V_
1/ Vl i/ Vl 0 Vz
Vz
(8.22)
La représentation des générateurs dans la nouvelle base est donnée par les m atrices
rr ~ a 1t rr a 1 ' · {
} •
J i - IA Ji IA ' ou l E X , y, z .
- 1 (0 1 0)
:f x = _ "' 1 0 1 ,
v 2 0 1 0
(
0 - i 0)
:!y = -
1
- i 0 -i
V2 0 i 0
et :fz = ( ~ ~ ~ ) .
0 0 - 1
(8.23)
Ce changement de base a réalisé Ja diagonalisation de la troisième composante du
moment cinétique. Les matrices :li vérifient évidemment l'algèbre de Lie (8.19).
8.1 .3 Le moment cinétique en mécanique quantique
Nous avons introduit la notion de moment cinétique en considérant l'exemple précis
--+
du moment orbital e d' une particule, cependant nous pourrions considérer d'autres
exemples physiques (par exemple nous montrons dans l' exercice 8.1 que les composantes du moment cinétique orbital total des Z électrons d' un atome obéissent à la
même algèbre que celle du moment d' un unique électron). Nous étudions maintenant
les propriétés générales de tels opérateurs en partant de la définition suivante du mo--+
ment cinétique, qui sera noté J : tout opérateur vectoriel dont les trois composantes
obéissent aux relations de commutation
(avec sommation implicite sur k).
(8.24)
139
0
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8.1. Moment cinétique
représentées par différents opérateurs), mais quelle que soit la représentation, les trois
générateurs satisfont les relations de commutation (8.19) qui définissent le groupe des
rotations.
Afin de rendre plus explicite l'analogie avec l' étude générale du moment cinétique
en mécanique quantique qui sera menée dans la section suivante, nous exprimons
--+
les générateurs de rotation dans une autre base. Les trois matrices 5 agissent sur le
triplet formé des composantes cartésiennes (Vx , Vy, Vz). Il est commode de regrouper
différemment les composantes :
u ~f V
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et
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V± = - - - -
Vl
(8.21)
Autrement dit on passe des composantes cartésiennes à ces nouvelles composantes à
l' aide de la transformation unitaire :
(
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Vo -
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(8.22)
La représentation des générateurs dans la nouvelle base est donnée par les m atrices
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et :fz = ( ~ ~ ~ ) .
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(8.23)
Ce changement de base a réalisé Ja diagonalisation de la troisième composante du
moment cinétique. Les matrices :li vérifient évidemment l'algèbre de Lie (8.19).
8.1 .3 Le moment cinétique en mécanique quantique
Nous avons introduit la notion de moment cinétique en considérant l'exemple précis
--+
du moment orbital e d' une particule, cependant nous pourrions considérer d'autres
exemples physiques (par exemple nous montrons dans l' exercice 8.1 que les composantes du moment cinétique orbital total des Z électrons d' un atome obéissent à la
même algèbre que celle du moment d' un unique électron). Nous étudions maintenant
les propriétés générales de tels opérateurs en partant de la définition suivante du mo--+
ment cinétique, qui sera noté J : tout opérateur vectoriel dont les trois composantes
obéissent aux relations de commutation
(avec sommation implicite sur k).
(8.24)
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