"'O
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
analogues à celles obtenues dans la section 8.1.1 en étudiant 1 'opérateur de moment
orbital. Ces relations forment l'algèbre de Lie du groupe. Les constantes EiJk sont
appelées les constantes de structure du groupe.
La non commutation des générateurs des rotations traduit la non commutation de certaines rotations, ce qui n'a rien de spécifiquement quantique. (8.19)
nous montre qu'en général R(B)R(B') * R(B')R(B). Cette propriété, ici démontrée
pour une représentation particulière du groupe de rotation, les matrices de S0(3), est
--+
--+
valable pour toute représentation. Si e et e' ne sont pas colinéaires, on a :
'R.(B)'R.(B') * 'R.(e')'R.(e) .
(8.20)
Le groupe est dit non abélien. La non commutatition des rotations autour d'axes
différents est illustrée sur la figure 8.3 en considérant les rotations 'R.(-~i1y) 'R.(~ i1x) et
'R.(~i1x) 'R.(-~i1y).
(a)
(b)
Final 1
Final 2 0>--+---~ y
Initial
X
X
Figure 8.3 - Non commutation des rotations.
Faisons agir deux rotations sur le rectangle initialement dan s le plan xOy. Suivant l'ordre
dans lequel le s rotations agissent, le résu ltat est différent. (a): rotation 'R(- ~uy)'R(~ux).
(b): rotation 'R( ~ ux)'R(-~uy).
Ces considérations appellent quelques commentaires : nous venons de retrouver,
éq. (8.19), les relations de commutation (8.6) dans un cadre qui n'a rien de spécifiquement quantique. Aussi bien les opérateurs différentiels qui font tourner les fonctions
--+
--+
3
scalaires ( e;n = - ir X V), que les matrices (8.18) qui font tourner les vecteurs de IR '
satisfont les mêmes relations de commutation. Suivant la nature de la quantité physique considérée, l'opérateur de moment cinétique, défini comme le générateur du
groupe des rotations, est représenté par différents opérateurs. Un vecteur est un objet
à 3 composantes, il faut donc des matrices 3 x 3 pour le faire tourner. Les vecteurs
de l'espace de Hilbert (des vecteurs « à nombre infini de composantes ») subissent
l'effet des rotations à travers des opérateurs unitaires (des « matrices de dimension
infinie»). L'action des rotations sur les fonctions d'onde est caractérisée par des opérateurs différentiels, etc. Chaque quantité physique engendre une représentation différente du groupe des rotations (i.e. les trois composantes du moment cinétique sont
138
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
analogues à celles obtenues dans la section 8.1.1 en étudiant 1 'opérateur de moment
orbital. Ces relations forment l'algèbre de Lie du groupe. Les constantes EiJk sont
appelées les constantes de structure du groupe.
La non commutation des générateurs des rotations traduit la non commutation de certaines rotations, ce qui n'a rien de spécifiquement quantique. (8.19)
nous montre qu'en général R(B)R(B') * R(B')R(B). Cette propriété, ici démontrée
pour une représentation particulière du groupe de rotation, les matrices de S0(3), est
--+
--+
valable pour toute représentation. Si e et e' ne sont pas colinéaires, on a :
'R.(B)'R.(B') * 'R.(e')'R.(e) .
(8.20)
Le groupe est dit non abélien. La non commutatition des rotations autour d'axes
différents est illustrée sur la figure 8.3 en considérant les rotations 'R.(-~i1y) 'R.(~ i1x) et
'R.(~i1x) 'R.(-~i1y).
(a)
(b)
Final 1
Final 2 0>--+---~ y
Initial
X
X
Figure 8.3 - Non commutation des rotations.
Faisons agir deux rotations sur le rectangle initialement dan s le plan xOy. Suivant l'ordre
dans lequel le s rotations agissent, le résu ltat est différent. (a): rotation 'R(- ~uy)'R(~ux).
(b): rotation 'R( ~ ux)'R(-~uy).
Ces considérations appellent quelques commentaires : nous venons de retrouver,
éq. (8.19), les relations de commutation (8.6) dans un cadre qui n'a rien de spécifiquement quantique. Aussi bien les opérateurs différentiels qui font tourner les fonctions
--+
--+
3
scalaires ( e;n = - ir X V), que les matrices (8.18) qui font tourner les vecteurs de IR '
satisfont les mêmes relations de commutation. Suivant la nature de la quantité physique considérée, l'opérateur de moment cinétique, défini comme le générateur du
groupe des rotations, est représenté par différents opérateurs. Un vecteur est un objet
à 3 composantes, il faut donc des matrices 3 x 3 pour le faire tourner. Les vecteurs
de l'espace de Hilbert (des vecteurs « à nombre infini de composantes ») subissent
l'effet des rotations à travers des opérateurs unitaires (des « matrices de dimension
infinie»). L'action des rotations sur les fonctions d'onde est caractérisée par des opérateurs différentiels, etc. Chaque quantité physique engendre une représentation différente du groupe des rotations (i.e. les trois composantes du moment cinétique sont
138