"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
8.1. Moment cinétique
b) Algèbre de Lie du groupe des rotations
Nous montrons que nous pouvons retrouver les relations de commutation (8.6) définissant le groupe des rotations sans faire aucunement référence à la mécanique quantique. Dans la section précédente nous avons montré que 1 ' opérateur de moment orbital est le générateur des rotations des fonctions scalaires.
~
Nous notons ~((}) les rotations dans l'espace physique tridimensionnel. Chaque
rotation est repérée par trois paramètres réels regroupés dans le vecteur ê = (} ü, dont
la direction i1 indique l'axe de rotation et l'amplitude e E [O, n] l'angle de rotation.
Le vecteur ê appartient à une boule de rayon 7r dont les points opposés sont identifiés
puisque ~(nil) = ~(-nil) , i.e. un domaine compact. On dit que le groupe des rotations
est un groupe compact.
• Rotations des vecteurs
Reprenons l'analyse de la rotation des vecteurs de JR. 3 . Toute quantité vectorielle,
ici notée V, est affectée par une rotation infinitésimale de paramètre ê de la même
manière que le vecteur position, (figure 8.1), ce qui définit sa nature vectorielle :
v'~v+êxv.
(8.16)
Dans l' espace IR.3, la rotation ~(ê) est représentée par une matrice 3 x 3 que nous
~
~
notons R(B). L'ensemble des matrices R(B) forme le groupe S0(3) : le « S », pour
« spécial », indique que les matrices sont de déterminant 1, le « 0 » qu'elles sont
orthogonales, R(i})1 = R(ê)T, et le « 3 » que la signature de la norme conservée sous
les rotations, llr11
2 = x
2 + y
2 + y
2 , est(+,+,+). Écrivons la rotation infinitésimale
sous la forme :
(8.17)
où 13 est la matrice identité de dimension 3 et :lx. Jy et :fz sont trois matrices
3 x 3 [les générateurs du groupe S0(3)]. Ces trois matrices sont obtenues en identifiant (8.16) avec V' ~ (1 3 - i ê · .1) V. Par exemple, pour la rotation selon Ûz, les
relations (8.8, 8. 9) peuvent être mises sous la forme V' = R( (} Ûz) V ~ V - i B:Jz V.
Nous obtenons la matrice :fz. En considérant le cas des rotations autour des directions Ûx et Ûy, nous obtenons les deux autres matrices :
(
0 0 0)
:fx = 0 0 -i ,
0 i 0
(
0 0 i)
:!y= 0 0 0
-i 0 0
et :fz = ( ~ ~i ~) .
0 0 0
(8.18)
On vérifie que .1
2 = 213 et [:Jx , Jy] = i:fz. Plus généralement les composantes
~
de :J obéissent aux relations de commutation :
(8.19)
137
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
8.1. Moment cinétique
b) Algèbre de Lie du groupe des rotations
Nous montrons que nous pouvons retrouver les relations de commutation (8.6) définissant le groupe des rotations sans faire aucunement référence à la mécanique quantique. Dans la section précédente nous avons montré que 1 ' opérateur de moment orbital est le générateur des rotations des fonctions scalaires.
~
Nous notons ~((}) les rotations dans l'espace physique tridimensionnel. Chaque
rotation est repérée par trois paramètres réels regroupés dans le vecteur ê = (} ü, dont
la direction i1 indique l'axe de rotation et l'amplitude e E [O, n] l'angle de rotation.
Le vecteur ê appartient à une boule de rayon 7r dont les points opposés sont identifiés
puisque ~(nil) = ~(-nil) , i.e. un domaine compact. On dit que le groupe des rotations
est un groupe compact.
• Rotations des vecteurs
Reprenons l'analyse de la rotation des vecteurs de JR. 3 . Toute quantité vectorielle,
ici notée V, est affectée par une rotation infinitésimale de paramètre ê de la même
manière que le vecteur position, (figure 8.1), ce qui définit sa nature vectorielle :
v'~v+êxv.
(8.16)
Dans l' espace IR.3, la rotation ~(ê) est représentée par une matrice 3 x 3 que nous
~
~
notons R(B). L'ensemble des matrices R(B) forme le groupe S0(3) : le « S », pour
« spécial », indique que les matrices sont de déterminant 1, le « 0 » qu'elles sont
orthogonales, R(i})1 = R(ê)T, et le « 3 » que la signature de la norme conservée sous
les rotations, llr11
2 = x
2 + y
2 + y
2 , est(+,+,+). Écrivons la rotation infinitésimale
sous la forme :
(8.17)
où 13 est la matrice identité de dimension 3 et :lx. Jy et :fz sont trois matrices
3 x 3 [les générateurs du groupe S0(3)]. Ces trois matrices sont obtenues en identifiant (8.16) avec V' ~ (1 3 - i ê · .1) V. Par exemple, pour la rotation selon Ûz, les
relations (8.8, 8. 9) peuvent être mises sous la forme V' = R( (} Ûz) V ~ V - i B:Jz V.
Nous obtenons la matrice :fz. En considérant le cas des rotations autour des directions Ûx et Ûy, nous obtenons les deux autres matrices :
(
0 0 0)
:fx = 0 0 -i ,
0 i 0
(
0 0 i)
:!y= 0 0 0
-i 0 0
et :fz = ( ~ ~i ~) .
0 0 0
(8.18)
On vérifie que .1
2 = 213 et [:Jx , Jy] = i:fz. Plus généralement les composantes
~
de :J obéissent aux relations de commutation :
(8.19)
137