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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
8.1.2 Quelques considérations sur le groupe des rotations
Cette section, qui peut être sautée sans gêner la compréhension des sections suivantes,
cherche à mettre en perspective l'étude du moment cinétique en mécanique quantique
en introduisant quelques notions sur le groupe des rotations. Nous souhaitons par là
souligner que l'essentiel des propriétés des moments cinétiques en mécanique quantique a pour origine la théorie des groupes. Par exemple, l'équation (8.13) nous ayant
permis d'identifier le générateur infinitésimal des rotations n' a rien de quantique. La
constante de Planck n'a été introduite que dans une ultime étape, afin d'identifier
l'opérateur différentiel -i r X V avec la représentation de l'opérateur moment cinétique orbital dans 1 'espace des fonctions d'onde.
a) Préliminaire : retour sur le cas simple du groupe
des translations
Notons T(â) la translation de a. L'ensemble de ces transformations forme un groupe
de transformations non compact (ici paramétrés par 3 paramètres appartenant à un
domaine non compact, IR. 3 ). Lorsqu'on applique plusieurs translations il est facile de
se convaincre que 1 'ordre dans lequel sont effectuées ces opérations est indifférent,
comme la figure l'illustre. Tous les éléments du groupe commutent T(â 1 )T(â 2 ) =
T(â2)T(â1) = T(i11 + â2) V i11, i12. Le groupe est dit abélien.
y
Figure 8.2 - Commutation des translations.
X
Dans le chapitre 6, nous avons étudié les opérateurs représentant l'action des translations dans l'espace de Hilbert; nous avons obtenu T(â) = e-~fr·a. Puisque les éléments du groupe des translations sont repérés par trois paramètres indépendants (les
composantes de â) le groupe possède trois générateurs (les composantes de jJ). Nous
pouvons donc relier la nature abélienne du groupe, éq. (6.15), à la commutativité de
ses générateurs : [px , Py] = [py, Pz] = [pz, Px] =O.
136
Représentation d'un groupe. 'T(â) désigne l'opération de translation. Celle-ci
agit sur toute grandeur physique, et notamment sur les vecteurs de l'espace de
Hilbert par le biais d'un opérateur unitaire T(â). L'ensemble de ces opérateurs
unitaires, { T(â)} avec â E IR. 3 , forme la représentation du groupe de translation
{'T(â)}, engendrée par les vecteurs de l'espace de Hilbert.
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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
8.1.2 Quelques considérations sur le groupe des rotations
Cette section, qui peut être sautée sans gêner la compréhension des sections suivantes,
cherche à mettre en perspective l'étude du moment cinétique en mécanique quantique
en introduisant quelques notions sur le groupe des rotations. Nous souhaitons par là
souligner que l'essentiel des propriétés des moments cinétiques en mécanique quantique a pour origine la théorie des groupes. Par exemple, l'équation (8.13) nous ayant
permis d'identifier le générateur infinitésimal des rotations n' a rien de quantique. La
constante de Planck n'a été introduite que dans une ultime étape, afin d'identifier
l'opérateur différentiel -i r X V avec la représentation de l'opérateur moment cinétique orbital dans 1 'espace des fonctions d'onde.
a) Préliminaire : retour sur le cas simple du groupe
des translations
Notons T(â) la translation de a. L'ensemble de ces transformations forme un groupe
de transformations non compact (ici paramétrés par 3 paramètres appartenant à un
domaine non compact, IR. 3 ). Lorsqu'on applique plusieurs translations il est facile de
se convaincre que 1 'ordre dans lequel sont effectuées ces opérations est indifférent,
comme la figure l'illustre. Tous les éléments du groupe commutent T(â 1 )T(â 2 ) =
T(â2)T(â1) = T(i11 + â2) V i11, i12. Le groupe est dit abélien.
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Figure 8.2 - Commutation des translations.
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Dans le chapitre 6, nous avons étudié les opérateurs représentant l'action des translations dans l'espace de Hilbert; nous avons obtenu T(â) = e-~fr·a. Puisque les éléments du groupe des translations sont repérés par trois paramètres indépendants (les
composantes de â) le groupe possède trois générateurs (les composantes de jJ). Nous
pouvons donc relier la nature abélienne du groupe, éq. (6.15), à la commutativité de
ses générateurs : [px , Py] = [py, Pz] = [pz, Px] =O.
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Représentation d'un groupe. 'T(â) désigne l'opération de translation. Celle-ci
agit sur toute grandeur physique, et notamment sur les vecteurs de l'espace de
Hilbert par le biais d'un opérateur unitaire T(â). L'ensemble de ces opérateurs
unitaires, { T(â)} avec â E IR. 3 , forme la représentation du groupe de translation
{'T(â)}, engendrée par les vecteurs de l'espace de Hilbert.