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8.1. Moment cinétique
Figure 8.1 - Rotation du vecteur 1 autour de l'axe Oz d'un angle e.
Nous regroupons l'information sur la direction (ici Ûz) et l' angle de rotation dans
un vecteur B. Le groupe des rotations est un groupe continu à trois paramètres : un
~
~
pour l'angle(}= 11(}11 et deux pour la direction (le vecteur unitaire(}/(}). Aidé de cette
notation, nous pouvons généraliser (8.8, 8.9) au cas d'une rotation arbitraire :
r' ~ r + iJ x r .
(8.10)
Si nous considérons une fonction scalaire t/JCr), celle-ci est par définition invariante
par rotation, ce qui s'exprime comme :
l t/J' (r') = t/1(1> 1
(8.11)
Afin d' identifier le générateur des rotations, il est utile de considérer la variation
locale de la fonction: ôt/f(P) = t/f'(P) - tjJ(P). Nous voyons sans peine que :
ôt/f(P) ~ t/f(r - iJ x 1) - t/f(P) ~ -ce x 1). Vt/f(P) = -iJ. (rx V)t/f(P) (8.12)
donc
(8.13)
Nous reconnaissons la représentation de l'opérateur moment orbital dans l'espace
~
~
des fonctions d' onde, f = -i1ïr x V. Nous pouvons reécrire cette relation
~
i
A
1 tf/ > ~ ( 1 - rie. l)1 t/J >
(8.14)
i.e.
A
~
ce qui nous montre que l'opérateur de rotation pour un angle infinitésimal est R((}) ~
(1 - *B · Î) ou encore
(8.15)
où le passage d ' une rotation pour (} << 1 à un angle fini se fait à l'aide de la relation limN-700(1 + ~ )N = eA. Nous avons démontré que le moment cinétique est le
générateur infinitésimal des rotations dans l'espace de Hilbert.
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