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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
Tenseur antisymétrique de Levi-Civita. Toute l'information peut être encodée
de manière plus compacte en introduisant le tenseur antisymétrique Eijk· Celuici est défini par les deux propriétés suivantes : (1) Eijk est antisymétrique sous
l'échange den' importe quelle paire d'indices, par exemple Eijk = -EJik · (i1) E 123 = + l .
En adoptant la convention d'Einstein de sommation implicite sur les indices
répétés, nous pouvons écrire le produit vectoriel entre deux vecteurs de façon
sympathique (Â x B)i = EijkAJBk. La sommation sur les indices répétés prend par
exemple la forme (Â x B)1 = EJJkAJBk = E123A283 + E132A3 82 = AyBz - AzBy.
À l'aide de ce tenseur les 9 relations de commutation peuvent être regroupées dans
une unique équation
( ~ [ei, e 1 J = in I EiJk ek )
k
(8.6)
avec sommation implicite sur l'indice répété
1 . Les relations (8.3, 8.4, 8.5), ou (8.6),
peuvent encore être écrites sous la forme suggestive :
--+
--+
--+
exe =in e.
(8.7)
À la limite classique, 1ï ~ 0, on retrouve la propriété attendue pour un vecteur
--+
--+
ex e =o.
Exercice 8. 1 (F) Considérons un atome à Z électrons. On note f U> le moment orbital de 1 'électron numéro i, agissant dans 1' espace de Hilbert yeU> . Montrer que le
moment orbital total l = Li l(i), agissant dans l' espace de Hilbert ~Cl)® · · · ® ~(Z)
des Z électrons, obéit également aux relations de commutation (8.6).
• Générateur des rotations
--+
Montrons que l'opérateur e d'une particule est le générateur des rotations dans l'espace de Hilbert. Considérons une rotation d'angle 8 autour de l' axe Oz. Nous la faisons agir sur le vecteur r. Celui-ci est transformé en un vecteur r' (figure 8.1):
x' = cos(B)x- sin(B)y : : : : : ' . x -By
y' = sin( 8) x + cos( 8) y : : : : : ' . y + 8 x
où nous avons développé 1 ' expression au premier ordre en 8.
(8.8)
(8.9)
1. Par exemple, pour i = 1 = x et j = 2 = y, la relation devient : [t 1 , t 2 ] = i1ï E12k tk = i1ï ( E 12 1 t 1 +
E 122 t 2 + E 123 t 3 ) . D ' après la définition du tenseur on a E 12 1 = 0, E 122 = 0 et E 123 = 1. Finalement on a
bien: [l 1 , l 2 ] = i1ï f3.
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Chapitre 8 • Moment cinétique - Spin
Tenseur antisymétrique de Levi-Civita. Toute l'information peut être encodée
de manière plus compacte en introduisant le tenseur antisymétrique Eijk· Celuici est défini par les deux propriétés suivantes : (1) Eijk est antisymétrique sous
l'échange den' importe quelle paire d'indices, par exemple Eijk = -EJik · (i1) E 123 = + l .
En adoptant la convention d'Einstein de sommation implicite sur les indices
répétés, nous pouvons écrire le produit vectoriel entre deux vecteurs de façon
sympathique (Â x B)i = EijkAJBk. La sommation sur les indices répétés prend par
exemple la forme (Â x B)1 = EJJkAJBk = E123A283 + E132A3 82 = AyBz - AzBy.
À l'aide de ce tenseur les 9 relations de commutation peuvent être regroupées dans
une unique équation
( ~ [ei, e 1 J = in I EiJk ek )
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(8.6)
avec sommation implicite sur l'indice répété
1 . Les relations (8.3, 8.4, 8.5), ou (8.6),
peuvent encore être écrites sous la forme suggestive :
--+
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exe =in e.
(8.7)
À la limite classique, 1ï ~ 0, on retrouve la propriété attendue pour un vecteur
--+
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ex e =o.
Exercice 8. 1 (F) Considérons un atome à Z électrons. On note f U> le moment orbital de 1 'électron numéro i, agissant dans 1' espace de Hilbert yeU> . Montrer que le
moment orbital total l = Li l(i), agissant dans l' espace de Hilbert ~Cl)® · · · ® ~(Z)
des Z électrons, obéit également aux relations de commutation (8.6).
• Générateur des rotations
--+
Montrons que l'opérateur e d'une particule est le générateur des rotations dans l'espace de Hilbert. Considérons une rotation d'angle 8 autour de l' axe Oz. Nous la faisons agir sur le vecteur r. Celui-ci est transformé en un vecteur r' (figure 8.1):
x' = cos(B)x- sin(B)y : : : : : ' . x -By
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où nous avons développé 1 ' expression au premier ordre en 8.
(8.8)
(8.9)
1. Par exemple, pour i = 1 = x et j = 2 = y, la relation devient : [t 1 , t 2 ] = i1ï E12k tk = i1ï ( E 12 1 t 1 +
E 122 t 2 + E 123 t 3 ) . D ' après la définition du tenseur on a E 12 1 = 0, E 122 = 0 et E 123 = 1. Finalement on a
bien: [l 1 , l 2 ] = i1ï f3.
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