"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
MOMENT
CINÉTIQUE - SPIN
Le rôle du moment cinétique comme générateur infinitésimal des rotations a déjà été
mentionné au chapitre 6 (nous le démontrerons). Dans tout problème invariant par
rotation le moment cinétique est donc conservé, ce qui sert de guide pour construire
des bases d'états propres de l'hamiltonien. Ce point est particulièrement important
pour la physique atomique (chapitre 12) où les états stationnaires des atomes sont
classés à l'aide de leurs propriétés de symétrie sous les rotations. Un des objets du
présent chapitre sera donc de construire le spectre de l'opérateur moment cinétique.
8.1 MOMENT CINÉTIQUE
8.1.1 Relations de commutation - Générateur des rotations
Considérons un premier exemple d'opérateur de moment cinétique : le moment cinétique orbital d' une particule, défini comme le produit vectoriel (noté« x » dans le
livre) de la position r et de l'impulsion p
e
~def ~
~
= rxp.
(8.1)
Tout comme les opérateurs de position et d'impulsion, l'opérateur de moment cinétique est un opérateur vectoriel (ou pseudo-vectoriel, cf. exercice 6.7), cependant,
~
à la différence de r et p, les trois composantes de e ne commutent pas entre elles
comme nous le vérifions. En utilisant [AB, CD] = [A, C]DB+A[B, C]D+C[A, D]B+
AC[B, D] (exercice 3.8), nous obtenons :
[fx, fy ] = [ypz - ZPy1 ZPx - Xpz] = [ypz, ZPx] + [zpy, Xpz]
=Y [pz, z] Px+ x [z , Pz] Py = inf z·
Nous pouvons également calculer le commutateur [fxi f z]. Finalement:
[f x, f x] = Ü
[fx , fy ] = in f z
[f x , fzl = -in fy ·
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(8.5)
Les autres relations de commutation sont obtenues par permutations circulaires des
indices.
133