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Chapitre 7 • Oscillateur harmonique
fl:I@ Énergie de vibration d'une chaîne d'oscillateurs couplés
Étudions un problème d'oscillateurs couplés : une chaîne d'atomes ayant pour positions { Xn} avec n E { 1, · · · , N}, dont la dynamique est décrite par le lagrangien
m ~ [ .2
2
2]
L = 2 LJ Xn - w 0 (xn - Xn-l - a) ,
(7.30)
n
(pour simplifier on fera une hypothèse de conditions aux limites périodiques XN =
x 0 ) . Le second terme de L décrit les énergies de liaison entre atomes voisins.
C'est donc un modèle de « cristal unidimensionnel » 2 . On introduira les variables
def
§n = Xn - na.
a) Variables normales et modes propres de vibration. Nous mettons le lagrangien
sous une forme plus appropriée en passant des variables {§n} aux variables {xQ}
reliées par une transformation de Fourier (discrète) : XQ ~ JN Lin §ne - iQn, où N
est la longueur de la chaîne (les vecteurs Q sont quantifiés si la chaîne est finie :
Q = 2nm/ N avec m E { 1, · · · , N} ). Montrer que le lagrangien se met sous la forme
m ~
2
2
2
L = 2 u [kQI - wQkQI ].
Q
(7.31)
Quelle est la variable canoniquement conjuguée 7f Q de x Q ? Déduire l'Hamiltonien de la chaîne.
b) Quantification. La quantification du problème est réalisée en imposant des relations de commutation [q, p] = in entre variables canoniquement conjuguées.
Déduire le spectre des états propres et des valeurs propres de la chaîne.
c) Fluctuations. (plus difficile) Que vaut (xQXQ' ), où la moyenne est prise sur un
état stationnaire quelconque? Écrire les fluctuations de positions ((§n - §m)
2 )Q
dans 1 'état fondamental 1 Q) sous la forme d'une intégrale (considérer N --? oo ).
Estimer cette intégrale. La chaîne peut-elle former un cristal stable?
Problème
611 États cohérents
Nous avons obtenu les états stationnaires (états propres de H) pour un oscillateur harmonique. Nous étudions maintenant d'autres états intéressants, les états propres de
l'opérateur d'annihilation, appelés états cohérents ou états quasiclassiques.
2. Attention : dans la section 6.4 nous avons étudié l'équation de Schrodinger pour un potentiel périodique, i.e. nous avons étudié la dynamique des électrons soumis au potentiel périodique des ions
formant le cristal. Dans cet exercice nous di scutons les vibrations des atomes formant le cristal.
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Chapitre 7 • Oscillateur harmonique
fl:I@ Énergie de vibration d'une chaîne d'oscillateurs couplés
Étudions un problème d'oscillateurs couplés : une chaîne d'atomes ayant pour positions { Xn} avec n E { 1, · · · , N}, dont la dynamique est décrite par le lagrangien
m ~ [ .2
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L = 2 LJ Xn - w 0 (xn - Xn-l - a) ,
(7.30)
n
(pour simplifier on fera une hypothèse de conditions aux limites périodiques XN =
x 0 ) . Le second terme de L décrit les énergies de liaison entre atomes voisins.
C'est donc un modèle de « cristal unidimensionnel » 2 . On introduira les variables
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§n = Xn - na.
a) Variables normales et modes propres de vibration. Nous mettons le lagrangien
sous une forme plus appropriée en passant des variables {§n} aux variables {xQ}
reliées par une transformation de Fourier (discrète) : XQ ~ JN Lin §ne - iQn, où N
est la longueur de la chaîne (les vecteurs Q sont quantifiés si la chaîne est finie :
Q = 2nm/ N avec m E { 1, · · · , N} ). Montrer que le lagrangien se met sous la forme
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L = 2 u [kQI - wQkQI ].
Q
(7.31)
Quelle est la variable canoniquement conjuguée 7f Q de x Q ? Déduire l'Hamiltonien de la chaîne.
b) Quantification. La quantification du problème est réalisée en imposant des relations de commutation [q, p] = in entre variables canoniquement conjuguées.
Déduire le spectre des états propres et des valeurs propres de la chaîne.
c) Fluctuations. (plus difficile) Que vaut (xQXQ' ), où la moyenne est prise sur un
état stationnaire quelconque? Écrire les fluctuations de positions ((§n - §m)
2 )Q
dans 1 'état fondamental 1 Q) sous la forme d'une intégrale (considérer N --? oo ).
Estimer cette intégrale. La chaîne peut-elle former un cristal stable?
Problème
611 États cohérents
Nous avons obtenu les états stationnaires (états propres de H) pour un oscillateur harmonique. Nous étudions maintenant d'autres états intéressants, les états propres de
l'opérateur d'annihilation, appelés états cohérents ou états quasiclassiques.
2. Attention : dans la section 6.4 nous avons étudié l'équation de Schrodinger pour un potentiel périodique, i.e. nous avons étudié la dynamique des électrons soumis au potentiel périodique des ions
formant le cristal. Dans cet exercice nous di scutons les vibrations des atomes formant le cristal.
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