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Problème
Afin de simplifier les calculs nous fixons m = w = 1ï = 1 (l 'analyse de l'exercice 7.3
nous permettra de rétablir les paramètres dimensionnés).
1) États cohérents : définition et propriétés. Les états cohérents sont les états
propres de 1' opérateur d' annihilation :
lâlœ) = œlœ) 1
(7.32)
L'état est reperé par la valeur propre œ E C (la valeur propre est complexe puisque â
n'est pas hermitique). Nous cherchons maintenant à caractériser l'état cohérent. Pour
cela nous calculons les valeurs moyennes des différents opérateurs.
a) Calculer (N)a et les fluctuations 11Na (où N = âtâ). En déduire la valeur moyenne
de l'énergie et ses fluctuations.
b) Calculer les valeurs moyennes (x)a et (ft)a. Quel sens physique donner au plan
complexe du paramètre œ? Calculer le produit 11xa 11Pa· Commenter.
2) Décomposition sur les états stationnaires. Donner la décomposition de 1 œ) dans
la base des états stationnaires (i.e. les écrire comme 1 œ) = L::=o cn l 'Pn) ). Montrer que
l'état cohérent peut être obtenu par application d'un opérateur sur l'état fondamental
(le vide d'excitation) :
(7.33)
Si on mesure N (i.e. l'énergie), quels sont les résultats de mesure possibles et avec
quelles probabilités sont-ils obtenus?
3) Base surcomplète.
a) Calculer le produit scalaire de deux états cohérents 1œ ) et1 œ' ).
b) Montrer que la relation de fermeture prend la forme
f dReœndlmœ lœ )(œ l = 1
(7.34)
4) Évolution temporelle
a) À l'instant t = 0, le système se trouve dans l'état 11/ta(O) ) = lœ ). Déduire 11/ta(t)).
b) Rappeler le sens physique des parties réelle et imaginaire de œ? Reprendre la
question l .b pour t =F O. Montrer que 1' évolution peut être illustrée dans le plan
complexe de la variable œ. Comparer avec les états propres 1 'Pn ). Justifier la dénomination d'états « quasi-classiques ».
5) Fonction d'onde. L'action de l'opérateur d'annihilation sur les fonctions d'onde
"
l ( d
)
est a --7 -../2 dx + x .
a) Montrer que la fonction d'onde lfta(x, t) = ( x 11/ta(t) ) est une gaussienne.
b) Même question pour l/Ja(p, t).
131
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1) États cohérents : définition et propriétés. Les états cohérents sont les états
propres de 1' opérateur d' annihilation :
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cela nous calculons les valeurs moyennes des différents opérateurs.
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2) Décomposition sur les états stationnaires. Donner la décomposition de 1 œ) dans
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3) Base surcomplète.
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b) Montrer que la relation de fermeture prend la forme
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a) À l'instant t = 0, le système se trouve dans l'état 11/ta(O) ) = lœ ). Déduire 11/ta(t)).
b) Rappeler le sens physique des parties réelle et imaginaire de œ? Reprendre la
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complexe de la variable œ. Comparer avec les états propres 1 'Pn ). Justifier la dénomination d'états « quasi-classiques ».
5) Fonction d'onde. L'action de l'opérateur d'annihilation sur les fonctions d'onde
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a) Montrer que la fonction d'onde lfta(x, t) = ( x 11/ta(t) ) est une gaussienne.
b) Même question pour l/Ja(p, t).
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