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Chapitre 7 • Oscillateur harmonique
• Étape 2 : On analyse les comportements asymptotiques de la solution. Pour
1§1 --7 oo, on peut négliger le membre de droite dans (7.27). On a alors : :; 2 ip(§) ~
§
2 ip(§). En remarquant que & 2 e-t
2 1 2 = (§ 2 - l)e-ç2/ 2 , on déduit que le comportement
dominant de la fonction d'onde à l' infini est gaussien : ip(§),...., e-t
2
1 2 .
• Étape 3 : On extrait le comportement dominant à l'infini en écrivant la fonction
d'onde sous la forme ip(§) = H(§) e-ç2/ 2 . Un peu d'algèbre nous montre que la fonction H(§) obéit à 1' équation
H"(§) - 2§ H '(§) + (2E - 1) H(§) =O.
(7.28)
Cette équation est un cas particulier d'équation hypergéométrique ; elle porte le nom
d'équation au sens J d§ H(§)
2 e- ç2 < oo que si (E - 1/2) = n E N. Ces solutions sont polynomiales; il s'agit précisément des polynômes Figure 7.3 - Densités de probabilité
quantique et classique.
Densité de probabilité lipn(X)l 2 pour n = 40.
La courbe rouge en tirets indique le
rés ultat classique pc1(x) avec E = ~mw
2
x~,
pour E = f40.
;
0.20
1
~
0.1 5
1
1
0.05
1
1
1
1
000
J !
-1 0
1
1
1
1
-5
• Relation avec la densité de probabilité classique
0
x-V mw/h
1
1
1
1
1
-
1
1
1
1
Certaines propriétés obtenues dans le cadre de la mécanique classique peuvent être
retrouvées dans les fonctions d'onde. Pour cela nous introduisons une « densité de
probabilité classique », notée Pciass(x; E), que nous comparons à la densité de probabilité quantique, Pquant(x; En) = l 2 . Considérons le problème du point de vue
classique : partant de E = 4m(~~)
2 + 4mw
2 x
2 nous déduisons le temps passé dans
l' intervalle dt = ± h (les deux signes correspondent à l'aller et au retour) où
w x 2 - x 2
E
XE est l'amplitude des oscillations, donnée par E = 4mw
2
x~. En notant T = 2n/w la
période, nous obtenons finalement Pclass(x; E)dx = J:dt, i.e.
128
1
Pciass ( x; E) = ~
7r
x 2 - x 2
E
(7.29)