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7.2. Le spectre de l'oscillateur harmonique
Figure 7.2 - Spectre de l'oscillateur
harmonique.
Niveaux d'énergie et fonctions d'onde des huit
premiers états (la fonction vers le haut de En= nw(n+ ~)).On vérifie que le
nombre de nœuds coïncide avec le degré
d'excitation (théorème de Sturm-Liouville). Les
opérateurs a et at permettent de descendre et
monter dans le spectre.
.r jmw/h
L'application de l'opérateur de création, fait apparaître les polynômes d 'Hermite
1 Hn(§). La fonction d'onde est:
où
(7.25)
Exercice 7.5 (F) Calculer les valeurs moyennes de x, p, x
2 et p
2 dans un état propre
1 • Résolution de /'équation de Schrddinger
Il est instructif de retrouver le spectre (7 .21) en partant de l' équation de Schrodinger :
- - - + -mw
2 x
2 (
ti2 d2
1
)
2m dx 2
2
(7.26)
Nous procédons par étapes (nous retrouverons la même logique dans l'étude de
l'équation de Schrodinger pour le potentiel en l /r au chapitre 12).
• Étape 1 : Il est plus clair de travailler avec des variables adimensionnées
,jii x et È = E/nw :
(
d2
)
-
- d§2 + §2 ip(§) = 2E ip(§) .
:§
(7.27)
l. La définition des polynômes d'onde du fondamental est {j; 0 (g) = ) 14 e-ë1 2 . L' opérateur de créati.on prend la forme a î ~ g - ~-Si on
écrit fPn(fl ex Hn(fle-~
212
, avec Ho(x) = 1, il est facile de vérifier que {j; 11 (g) = 1 r.:(a t fPn-1)(g) conduit à la
vn
relation H,,(g) = (21; - ~)H 11 _ 1 (g), qui est bien la récurrence entre polynômes l' annexe A. QEo.
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