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7.2. Le spectre de l'oscillateur harmonique
• Quantification
Montrons que n est nécessairement entier. Pour cela raisonnons par 1 'absurde.
(i) Remarquons d'abord que, d' après sa définition, N doit posséder un spectre de
valeurs propres positives : ( 'Pn INI 'Pn) = ( 'Pn lât âl 'Pn) = llâl 'Pn )11
2
~ O.
(ii) Or, connaissant un état propre l'Pn) de N, sin fi. N l'équation (7.15) permet de
construire des états propres associés à des valeurs propres négatives : pour cela il
suffit d 'appliquer â sur 1 'Pn ), un nombre de fois au moins supérieur à la partie entière
den.
La seule manière d ' éviter une contradiction entre (i) et (ii) est donc que
(7.19)
ce qui interdit d'accéder aux n < 0, grâce à l'équation (7.17) qui assure:
(7.20)
1
vecteur 1
n E N est que les opérateurs â et â t permettent de sauter den à n± 1 (il n'est pas inutile
de rappeler une propriété générale : pour un potentiel confinant unidimensionnel, les
énergies ne sont pas dégénérées).
Remarque
Attention à ne pas confondre les deux notations : 1 <.po) est le vecteur propre de H
décrivant une particule dans l'état fondamental, tandis que, dans les notations de
Dirac, 0 est le vecteur nul de l'espace de Hilbert décrivant l'absence de particule.
• Spectre de Îl
Nous avons terminé la construction des états propres de H. Les valeurs propres de
l'hamiltonien sont:
pour n E N
(7.21)
et les vecteurs propres sont définis par les relations (7 .20, 7 .18). L'oscillateur harmonique unidimensionnel a donc un spectre très particulier de niveaux d'énergie équidistants (séparés de nw ). Dans une expérience de spectroscopie, une telle structure
régulière sera donc caractéristique de degrés de liberté de vibration.
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• Quantification
Montrons que n est nécessairement entier. Pour cela raisonnons par 1 'absurde.
(i) Remarquons d'abord que, d' après sa définition, N doit posséder un spectre de
valeurs propres positives : ( 'Pn INI 'Pn) = ( 'Pn lât âl 'Pn) = llâl 'Pn )11
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(ii) Or, connaissant un état propre l'Pn) de N, sin fi. N l'équation (7.15) permet de
construire des états propres associés à des valeurs propres négatives : pour cela il
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La seule manière d ' éviter une contradiction entre (i) et (ii) est donc que
(7.19)
ce qui interdit d'accéder aux n < 0, grâce à l'équation (7.17) qui assure:
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n E N est que les opérateurs â et â t permettent de sauter den à n± 1 (il n'est pas inutile
de rappeler une propriété générale : pour un potentiel confinant unidimensionnel, les
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Remarque
Attention à ne pas confondre les deux notations : 1 <.po) est le vecteur propre de H
décrivant une particule dans l'état fondamental, tandis que, dans les notations de
Dirac, 0 est le vecteur nul de l'espace de Hilbert décrivant l'absence de particule.
• Spectre de Îl
Nous avons terminé la construction des états propres de H. Les valeurs propres de
l'hamiltonien sont:
pour n E N
(7.21)
et les vecteurs propres sont définis par les relations (7 .20, 7 .18). L'oscillateur harmonique unidimensionnel a donc un spectre très particulier de niveaux d'énergie équidistants (séparés de nw ). Dans une expérience de spectroscopie, une telle structure
régulière sera donc caractéristique de degrés de liberté de vibration.
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