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7.2. Le spectre de l'oscillateur harmonique
discutons la théorie quantique de 1' oscillateur harmonique, nous pouvons ajouter la
constante de Planck n. Avec les trois quantités de dimensions [m] = M, [w] = y-J et
[n] = ML
2 T -
1 nous pouvons fabriquer une longueur :
e ~· g
w.
mw
(7.8)
Cette échelle de longueur nous permet de définir une échelle d'impulsion~ mwlw =
Ymnw ou encore une échelle d'énergie~ mw
2
t' ?v = nw.
Exercice 7.1 (MF) En utilisant l'inégalité de Heisenberg, montrer que l'énergie de
l' état fondamental est de l'ordre de nw et que l' extension de la fonction d'onde associée est lw.
Exercice 7.2 (F) Calculer la pulsation w et l'énergie nw (en eV) correspondant à
lw = 1 À (pour un électron). Déduire la raideur k = mw
2 (en N/m puis en nN/À).
• Opérateurs d'annihilation et de création
L'analyse de la dynamique classique montre que la dynamique de l' oscillateur peut
être analysée d'une manière extrêmement simple à l'aide de la variable A, combinaison linéaire de x et p. Cela suggère d'introduire deux opérateurs correspondants
A ---? a = A/ Vh et A* ---? a t = At / Vh qui vont se révéler utiles pour construire les
états propres de H : l'opérateur d' annihilation (l'origine de cette dénomination est
expliquée ci-dessous)
A def ffiw A . ff, A
a=
-x+1
p
2n
2mnw
(7.9)
et son opérateur conjugué
A 'ff,A
x- 1
p
2mnw
(7.10)
appelé opérateur de création.
Exercice 7.3 (F) Vérifier que â est sans dimension.
Passer du couple (x, p) au couple (a, a t ) conduit naturellement à la question : par
quoi est remplacée la relation de commutation canonique [x, p] = in?
Le commutateur se calcule sans problème : [a, a t ] = r;;;;;;. 2 n<:! . ~([x, p] - [p, x])
'/ 21i 1 2mnw
d'où
(7.11)
123
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Exercice 7.1 (MF) En utilisant l'inégalité de Heisenberg, montrer que l'énergie de
l' état fondamental est de l'ordre de nw et que l' extension de la fonction d'onde associée est lw.
Exercice 7.2 (F) Calculer la pulsation w et l'énergie nw (en eV) correspondant à
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2 (en N/m puis en nN/À).
• Opérateurs d'annihilation et de création
L'analyse de la dynamique classique montre que la dynamique de l' oscillateur peut
être analysée d'une manière extrêmement simple à l'aide de la variable A, combinaison linéaire de x et p. Cela suggère d'introduire deux opérateurs correspondants
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appelé opérateur de création.
Exercice 7.3 (F) Vérifier que â est sans dimension.
Passer du couple (x, p) au couple (a, a t ) conduit naturellement à la question : par
quoi est remplacée la relation de commutation canonique [x, p] = in?
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