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Chapitre 7 • Oscillateur harmonique
Ces deux équations différentielles couplées peuvent être résolues aisément. Une manière particulièrement directe consiste à introduire une variable complexe combinant x et p:
ct cr fFW ·~
A(t) = - x(t) + 1 -
p(t).
2
2mw
(7.5)
L'intérêt d'introduire cette nouvelle variable est double. D'une part nous pouvons interpréter l'espace des phases, le plan (x, p), comme le plan complexe de la variable A.
D'autre part la variable A(t) obéit à une équation différentielle simplissime: en combinant (7.3, 7.4) nous obtenons
Â(t) = -iwA(t)
A(t) = A(O)e- iwt.
(7.6)
La trajectoire dans l'espace des phases est un cercle parcouru dans le sens inverse au
sens trigonométrique.
En utilisant x = -~(A+ A*) et p = rr;;;; 2
w A-:A*, nous pouvons exprimer l'énergie
v2mw
"\/~ i
en fonction de cette nouvelle variable :
H = ~ (AA * + A*A).
(7.7)
Nous ne simplifions pas l'expression comme wlAl
2 ; en développant x2 et p
2 nous
avons fait attention à ne pas faire commuter A et A*. En faisant cela nous anticipons
sur la prochaine section dans laquelle nous verrons que la non commutativité de x
et p en mécanique quantique implique que A et A* ne commutent pas.
7.2 LE SPECTRE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
Différentes approches permettent de trouver le spectre de H; l'une consiste à résoudre l' équation différentielle (2.9) [30], ce que nous discuterons brièvement dans
un second temps. Nous lui préférons ici une approche algébrique présentée dans l'ouvrage [8] qui utilise la symétrie de l'hamiltonien (il s'agit de la symétrie entre x et p ,
qui jouent des rôles similaires dans l'hamiltonien H = ~(p
2 + x
2 ) , où nous omettons
les facteurs dimensionnés). 11 n' y a cependant pas de différence fondamentale entre
les deux approches : l'équation différentielle est soluble car elle possède la symétrie exploitée dans « l'approche algébrique». L'algèbre des opérateurs annihilationcréation introduite ci-dessous apparaît naturellement dans la résolution de l'équation
hypergéométrique associée à l' équation de Schrodinger.
• Analyse dimensionnelle
Une première question naturelle est: quelles sont les échelles du problème? L'hamiltonien fait apparaître deux paramètres : la masse m et la pulsation w. Puisque nous
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Chapitre 7 • Oscillateur harmonique
Ces deux équations différentielles couplées peuvent être résolues aisément. Une manière particulièrement directe consiste à introduire une variable complexe combinant x et p:
ct cr fFW ·~
A(t) = - x(t) + 1 -
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L'intérêt d'introduire cette nouvelle variable est double. D'une part nous pouvons interpréter l'espace des phases, le plan (x, p), comme le plan complexe de la variable A.
D'autre part la variable A(t) obéit à une équation différentielle simplissime: en combinant (7.3, 7.4) nous obtenons
Â(t) = -iwA(t)
A(t) = A(O)e- iwt.
(7.6)
La trajectoire dans l'espace des phases est un cercle parcouru dans le sens inverse au
sens trigonométrique.
En utilisant x = -~(A+ A*) et p = rr;;;; 2
w A-:A*, nous pouvons exprimer l'énergie
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en fonction de cette nouvelle variable :
H = ~ (AA * + A*A).
(7.7)
Nous ne simplifions pas l'expression comme wlAl
2 ; en développant x2 et p
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avons fait attention à ne pas faire commuter A et A*. En faisant cela nous anticipons
sur la prochaine section dans laquelle nous verrons que la non commutativité de x
et p en mécanique quantique implique que A et A* ne commutent pas.
7.2 LE SPECTRE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
Différentes approches permettent de trouver le spectre de H; l'une consiste à résoudre l' équation différentielle (2.9) [30], ce que nous discuterons brièvement dans
un second temps. Nous lui préférons ici une approche algébrique présentée dans l'ouvrage [8] qui utilise la symétrie de l'hamiltonien (il s'agit de la symétrie entre x et p ,
qui jouent des rôles similaires dans l'hamiltonien H = ~(p
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les facteurs dimensionnés). 11 n' y a cependant pas de différence fondamentale entre
les deux approches : l'équation différentielle est soluble car elle possède la symétrie exploitée dans « l'approche algébrique». L'algèbre des opérateurs annihilationcréation introduite ci-dessous apparaît naturellement dans la résolution de l'équation
hypergéométrique associée à l' équation de Schrodinger.
• Analyse dimensionnelle
Une première question naturelle est: quelles sont les échelles du problème? L'hamiltonien fait apparaître deux paramètres : la masse m et la pulsation w. Puisque nous
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