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OSCILLATEUR
HARMONIQUE
L'étude de l'oscillateur harmonique est un problème transversal à de nombreux domaines de la physique. Une des raisons d' une telle popularité est que l'étude d'un
oscillateur harmonique modélise la situation très fréquente où le système est au voisinage de l'équilibre ; dans ce cas un développement de l'énergie potentielle autour
de la position d'équilibre est de la forme
Epotent. ex: +(écart à l'équilibre)
2
(7.1 )
i.e. conduit à l'étude d'un oscillateur, ou d'un ensemble d'oscillateurs couplés. En
mécanique quantique, les résultats que nous obtiendrons pour 1 'oscillateur harmonique unidimensionnel pourront s'appliquer à l'étude des vibrations d'une molécule
diatomique par exemple (le cas des vibrations de molécules plus complexes ou même
des solides conduit à considérer des oscillateurs couplés ; cf. le cours de physique statistique pour le cas des solides, ou le complément III.Ede [15]). Plus généralement,
ils trouveront un intérêt pour chaque situation décrite par un hamiltonien s'exprimant comme la somme des carrés de deux variables canoniquement conjuguées (cf.
la note de bas de page 3 de la page 74) : H = !Cp
2 + q
2 ) lorsque le commutateur
[q, p] = i Cste est proportionnel à l'opérateur identité. C'est par exemple le cas pour
l'hamiltonien du rayonnement électromagnétique H em = J dr ( ~ 8
2 + 2 ~ 0 !lÎ
2 ). La
quantification du champ électromagnétique conduit en effet à considérer un ensemble
d'oscillateurs harmoniques découplés associés aux différents modes du champ (cf.
§ 15.2.3).
7.1 L'OSCILLATEUR HARMONIQUE CLASSIQUE
Considérons l'hamiltonien :
p2
1
H = - + -mw
2 x
2
2m 2
(7.2)
et commençons par rappeller la dynamique classique. Les équations du mouvement
de Hamilton sont :
. 8H
p
x = - = -
8p
m
(7.3)
.
8H
2
p = - ax = -mw x .
(7.4)
121