-0
0
c
::J
0
LI)
......
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
Problème
œJ Groupe de Galilée
On considère une particule libre de masse m dans une situation unidimensionnelle.
On note 1 (i.e. l' onde plane).
Transformations spéciales de Galilée
Les transformations (spéciales) de Galilée permettent les changements de référentiels inertiels en mécanique galiléo-newtonienne. La transformation de paramètre v
agit sur les coordonnées d'espace temps comme :
t' = t
et
x' =X+ V t
(6.28)
a) Comment est transformée l'impulsion p ---7 p' ?
b) On note Û(v) l' opérateur unitaire représentant la transformation dans l'espace de
Hilbert. L'état 1 x) décrivant la particule en x est transformé comme Û(v)I x) =
eif(x,t)I x') et l'onde plane comme Û(v)I sont deux fonctions réelles (qui ne jouent pas de rôle ici). En déduire comment
sont transformés les opérateurs de position x ---7 X' et d'impulsion p ---7 p' ?
Générateur du groupe de Galilée
Le générateur G du groupe de Galilée est défini en écrivant les transformations sous
la forme:
•
A
i· v
v 2
A
-! vG
A
" 2
3
U ( v) = e ri = 1 - - G - - G + 0( v )
n 2ti 2
(6.29)
a) Justifier que Gest hermitique. Vérifier que dans la limite v ---7 0 la transformation
d' un opérateur  prend la forme
.
2
Â' = Â1
; [G,Â]- ;n 2 [ô, [G,Â]] + O(v
3 )
(6.30)
b) Justifier que Gest une combinaison linéaire des opérateurs de position et d'impulsion: G = -œx+f3p. Déduire œ etf3 en comparant avec les résultats de la première
partie du problème.
c) Soit 11/f(t) ) solution de l' équation de Schrodinger. Calculer la dérivée fi ( G)tfJ(t) où
(G)t/f(t) ~ ( l/f(t) IGI l/f(t) ). Donner une interprétation physique de ce résultat.
118