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Exercices
Imposer la condition de raccordement et déduire l'équation de quantification. La
résoudre graphiquement. Tracer l'allure des premières fonctions d'onde paires.
b) Solutions impaires. Mêmes questions.
c) Que deviennent les solutions des deux équations de quantification dans la limite
du puits profond k 0 a ---? oo ?
d) Discuter l'existence des solutions paires et impaires dans la limite du puits peu
profond koa ---7 O.
lillel(!)j Potentiel en peigne de Dirac - Bandes d'énergie
Nous étudions le spectre de l'hamiltonien
H = - - - +À'\:"" ô(x- na)
n,2 ( d2
)
2m
dx 2
L.J
(6.27)
n
décrivant la dynamique d' un électron soumis à un potentiel périodique en peigne de
Dirac.
a) Justifier que sur l' intervalle ]na, (n + l)a[, on peut écrire la fonction d'onde de
l'état stationnaire comme lf!(x) = Aneik(x-na) + Bne-ik(x-na). Comment l' énergie de
l'état stationnaire est-elle reliée à k?
b) Trouver la condition de raccordement pour lf!(x) de part et d'autre part du ô.
Déduire une équation de récurrence entre les couples de coefficients (An, Bn) et
(An+l 1 Bn+1).
c) Nous utilisons le théorème de Bloch, i.e. nous cherchons des états stationnaires
également états propres de l'opérateur de translation T(a): lf!K(x +a)= lf!K(x)eîK
où le paramètre de Bloch appartient à la première zone de Brillouin (ZdB)
K E [-n, +n] (ne pas confondre k qui paramétrise l'énergie et K qui est la phase
d)
e)
de la valeur propre de l'opérateur de translation T(a)l lf!K) = e- iKI lf!K) ). Déduire
une autre équation entre (An, Bn) et (An+1 1 Bn+1).
Donner l'équation de quantification qu' on résoudra graphiquement. Montrer que
le spectre des énergies est composé de bandes.
Densité d' états (plus difficile). Si le cristal a une taille finie L = Ma, où M E N,
des conditions aux limites périodiques conduisent à la quantification du paramètre
de Bloch Km = ' tJm avec m E {l, · · · , M}. Déduire l'expression de la densité
d'états (considérer la limite L ---7 oo). Tracer la densité d'états intégrée.
117
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b) Solutions impaires. Mêmes questions.
c) Que deviennent les solutions des deux équations de quantification dans la limite
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d) Discuter l'existence des solutions paires et impaires dans la limite du puits peu
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décrivant la dynamique d' un électron soumis à un potentiel périodique en peigne de
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a) Justifier que sur l' intervalle ]na, (n + l)a[, on peut écrire la fonction d'onde de
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b) Trouver la condition de raccordement pour lf!(x) de part et d'autre part du ô.
Déduire une équation de récurrence entre les couples de coefficients (An, Bn) et
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c) Nous utilisons le théorème de Bloch, i.e. nous cherchons des états stationnaires
également états propres de l'opérateur de translation T(a): lf!K(x +a)= lf!K(x)eîK
où le paramètre de Bloch appartient à la première zone de Brillouin (ZdB)
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Donner l'équation de quantification qu' on résoudra graphiquement. Montrer que
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Densité d' états (plus difficile). Si le cristal a une taille finie L = Ma, où M E N,
des conditions aux limites périodiques conduisent à la quantification du paramètre
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