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6.4. Potentiel périodique et théorème de Bloch
déduisons le spectre des valeurs propres de 1 'énergie
1 E(K) = Eo - 2A cos(K) avec K E] - n, +n] 1
(6.25)
Nous avons montré que le spectre des énergies de l'hamiltonien du cristal unidimensionnel est constitué d' une bande: Spectre(H) = [Eo - 2A, Eo + 2A] (figure 6.3).
~
Figure 6.3 - Spectre d'un cristal 1 D.
Relation de dispersion (6.25): les valeurs propres de
l'énergie sont indicées par le paramètre de Bloch
Q O >--~~---~---+~~---+-~~kj' _,
K E [-rr, +rr]. Le spectre est donc continu :
Spectre(H) = [-2A, +2A].
-l
- 3
- 2
-1
K
Exercice 6.6 (F) Masse effective
Les états de Bloch partagent la propriété avec les ondes planes d'être délocalisés dans
tout l'espace. Remarquons que le spectre du cristal possède une certaine similitude
avec le spectre d'une particule libre, à condition de considérer la limite K --7 O. En
redéfinissant le paramètre de Bloch comme k = K/a, montrer que pour k --? 0 on
retrouve le spectre d' une particule libre : E(K = ka --? 0) ~ ~2::;~ +este. Exprimer la
masse effective m* en fonction du couplage A et du pas du réseau cristallin a. Comment varie m* lorsque le couplage A diminue? Interpréter physiquement.
AN: Calculer m*/me (où me est la masse de l'électron) pour A= 1 eV et a= 1 À (les
échelles atomiques typiques).
Que devient ce type de développement au voisinage de l'énergie maximale
Eo + 2A?
À retenir
L'ensemble des symétries d' un système (ou d'une théorie physique) forme un groupe.
Dans l'espace de Hilbert Je, une transformation est représentée par un opérateur unitaire U.
Un état symétrique sous une transformation U est un état propre de cet opérateur.
Une quantité physique A invariante lors de la transformation est représentée par un opérateur qui commute avec l'opérateur de transformation [A, U] =O .
Une symétrie du problème est une transformation telle que [H, U] = 0, ce qui implique
1' existence d' une loi de conservation ( l/f(t) 1111 l/f(t)) =este.
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déduisons le spectre des valeurs propres de 1 'énergie
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(6.25)
Nous avons montré que le spectre des énergies de l'hamiltonien du cristal unidimensionnel est constitué d' une bande: Spectre(H) = [Eo - 2A, Eo + 2A] (figure 6.3).
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Figure 6.3 - Spectre d'un cristal 1 D.
Relation de dispersion (6.25): les valeurs propres de
l'énergie sont indicées par le paramètre de Bloch
Q O >--~~---~---+~~---+-~~kj' _,
K E [-rr, +rr]. Le spectre est donc continu :
Spectre(H) = [-2A, +2A].
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Exercice 6.6 (F) Masse effective
Les états de Bloch partagent la propriété avec les ondes planes d'être délocalisés dans
tout l'espace. Remarquons que le spectre du cristal possède une certaine similitude
avec le spectre d'une particule libre, à condition de considérer la limite K --7 O. En
redéfinissant le paramètre de Bloch comme k = K/a, montrer que pour k --? 0 on
retrouve le spectre d' une particule libre : E(K = ka --? 0) ~ ~2::;~ +este. Exprimer la
masse effective m* en fonction du couplage A et du pas du réseau cristallin a. Comment varie m* lorsque le couplage A diminue? Interpréter physiquement.
AN: Calculer m*/me (où me est la masse de l'électron) pour A= 1 eV et a= 1 À (les
échelles atomiques typiques).
Que devient ce type de développement au voisinage de l'énergie maximale
Eo + 2A?
À retenir
L'ensemble des symétries d' un système (ou d'une théorie physique) forme un groupe.
Dans l'espace de Hilbert Je, une transformation est représentée par un opérateur unitaire U.
Un état symétrique sous une transformation U est un état propre de cet opérateur.
Une quantité physique A invariante lors de la transformation est représentée par un opérateur qui commute avec l'opérateur de transformation [A, U] =O .
Une symétrie du problème est une transformation telle que [H, U] = 0, ce qui implique
1' existence d' une loi de conservation ( l/f(t) 1111 l/f(t)) =este.
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