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Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
propres de l'impulsion). Le paramètre de Bloch appartient à l'intervalle K E]-n, +n]
puisque d'après l' éq. (6.22) 1 !/J K) et 1 !/J K +2mr) décrivent le même état physique. L'intervalle K E] - n, +n] porte le nom de 1 ère zone de Brillouin.
Les conséquences physiques du théorème de Bloch sont importantes :
• Si nous écrivons la relation (6.22) en représentation d'espace, nous obtenons
(xlT(a)l!/IK) = !/JK(x- a)= e-iK!/IK(x), ou encore
(6.23)
La translation par un multiple du pas du réseau n'affecte la fonction d'onde que
par un changement de sa phase. Les états stationnaires sont des états délocalisés
dans tout le cristal.
• Le spectre des énergies E(K) est une fonction continue du paramètre K. Le cristal
est donc caractérisé par un continuum d'états (spectre continu ~ états délocalisés). On peut montrer que les énergies se regroupent en bandes. Nous en verrons
plusieurs illustrations : l'une dans le paragraphe qui suit (pour une bande), l'autre
dans l'exercice 6.10 (une infinité de bandes).
6.4.2 Illustration : un cristal unidimensionnel
Nous di scutons l'application la plus simple du théorème de Bloch : une chaîne
d'atomes régulièrement répartis aux positions x = na avec n E Z. À l' atome numéro n est associé un état 1 an) localisé, i.e. une fonction d' onde ( x 1 an) localisée
autour de l'atome en x = na, d'énergie (an IHlan) = Eo. Un électron sur cet atome
peut toutefois sauter sur un des atomes voisins à cause d'un couplage tunnel (nous
négligeons le couplage entre atomes plus éloignés) : (an IHI an+l) = -A . De plus
nous supposons que A E R.
Nous cherchons les états stationnaires du problème. Si nous projetons l'équation
de Schrodinger Hl !fJ) = El !fJ) dans la base des états localisés (i.e. nous la multiplions
par le bra (an 1), nous constatons que les composantes (an 1 !/J) = !/J(n) obéissent à
l'équation
-A !/J(n + 1) + Eo !/J(n) - A !/J(n - 1) = E !/J(n).
(6.24)
Le théorème de Bloch nous dit qu' une base d'états stationnaires sont les états propres
11/JK) de l'opérateur de translation T(a)l!/IK) = e-iKl!/IK ), avec K E] - n, +n]. Nous
avons vu plus haut en multipliant cette équation par (an 1 que !/J K(n + 1) = eiK !/J K(n) .
Dans cette situation simplifiée à un état par site, nous obtenons donc immédiatement
la fonction d 'onde 3 !fJK(n) = ~ einK. En injectant cette expression dans (6.24) nous
3. Puisque les états sont paramètrés par un paramètre continu, le facteur de normalisation est trouvé en
écrivant que ( l/JK l l/JK' ) = ô(K - K'). Puis on utilise la formule de Poisson d" l:n eink = l:n ô(K + 2mr).
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Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
propres de l'impulsion). Le paramètre de Bloch appartient à l'intervalle K E]-n, +n]
puisque d'après l' éq. (6.22) 1 !/J K) et 1 !/J K +2mr) décrivent le même état physique. L'intervalle K E] - n, +n] porte le nom de 1 ère zone de Brillouin.
Les conséquences physiques du théorème de Bloch sont importantes :
• Si nous écrivons la relation (6.22) en représentation d'espace, nous obtenons
(xlT(a)l!/IK) = !/JK(x- a)= e-iK!/IK(x), ou encore
(6.23)
La translation par un multiple du pas du réseau n'affecte la fonction d'onde que
par un changement de sa phase. Les états stationnaires sont des états délocalisés
dans tout le cristal.
• Le spectre des énergies E(K) est une fonction continue du paramètre K. Le cristal
est donc caractérisé par un continuum d'états (spectre continu ~ états délocalisés). On peut montrer que les énergies se regroupent en bandes. Nous en verrons
plusieurs illustrations : l'une dans le paragraphe qui suit (pour une bande), l'autre
dans l'exercice 6.10 (une infinité de bandes).
6.4.2 Illustration : un cristal unidimensionnel
Nous di scutons l'application la plus simple du théorème de Bloch : une chaîne
d'atomes régulièrement répartis aux positions x = na avec n E Z. À l' atome numéro n est associé un état 1 an) localisé, i.e. une fonction d' onde ( x 1 an) localisée
autour de l'atome en x = na, d'énergie (an IHlan) = Eo. Un électron sur cet atome
peut toutefois sauter sur un des atomes voisins à cause d'un couplage tunnel (nous
négligeons le couplage entre atomes plus éloignés) : (an IHI an+l) = -A . De plus
nous supposons que A E R.
Nous cherchons les états stationnaires du problème. Si nous projetons l'équation
de Schrodinger Hl !fJ) = El !fJ) dans la base des états localisés (i.e. nous la multiplions
par le bra (an 1), nous constatons que les composantes (an 1 !/J) = !/J(n) obéissent à
l'équation
-A !/J(n + 1) + Eo !/J(n) - A !/J(n - 1) = E !/J(n).
(6.24)
Le théorème de Bloch nous dit qu' une base d'états stationnaires sont les états propres
11/JK) de l'opérateur de translation T(a)l!/IK) = e-iKl!/IK ), avec K E] - n, +n]. Nous
avons vu plus haut en multipliant cette équation par (an 1 que !/J K(n + 1) = eiK !/J K(n) .
Dans cette situation simplifiée à un état par site, nous obtenons donc immédiatement
la fonction d 'onde 3 !fJK(n) = ~ einK. En injectant cette expression dans (6.24) nous
3. Puisque les états sont paramètrés par un paramètre continu, le facteur de normalisation est trouvé en
écrivant que ( l/JK l l/JK' ) = ô(K - K'). Puis on utilise la formule de Poisson d" l:n eink = l:n ô(K + 2mr).
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