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6.4. Potentiel périodique et théorème de Bloch
La conservation de l'impulsion se comprend donc comme une conséquence de
l'invariance sous le groupe des translations spatiales [si H est indépendant de r en
l'absence de potentiel V(;t)]; nous relions donc une propriété géométrique du système à la conservation d'une grandeur physique. La conservation de l'énergie est
une conséquence de l'invariance sous le groupe des translations temporelles (lorsque
le potentiel est indépendant du temps), etc.
Notons que nous n'avons fait qu'appliquer des concepts de portée très générale
dans le cadre quantique : ni la notion de groupe de transformations, ou celle de générateur ou encore le théorème de Nœther ne sont propres à la mécanique quantique ;
ces idées peuvent également être introduites en mécanique classique (on pourra en
voir une illustration dans l' annexe du chapitre 1 ou [29]).
Remarque : Déduire l'équation de Schrodinger d'un principe plus fondamental
Lorsque l' hamiltonien est indépendant du temps , le théorème de Nœther nous offre
un moyen de déduire l'équation d'évolution d'un principe plus fondamental. Étant la
quantité conservée au cours du temps, l'énergie (l'hamiltonien) est le générateur infinitésimal des translations temporelles, i.e. l'opérateur d'évolution temporelle s'exprime comme (6.16). Nous obtenons alors que le vecteur ll/f(t}) = U(t)ll/f(O) ) obéit à
l'é quation de Schrodinger (5.1 ).
6.4 POTENTIEL PÉRIODIQUE ET THÉORÈME
DE BLOCH
Nous donnons une autre illustration de l'idée que les états stationnaires peuvent être
classés à l'aide de leurs symétries. Étudions l'équation de Schrodinger stationnaire
unidimensionnelle pour un potentiel périodique V(x) = V(x +a), i.e. nous décrivons
la dynamique d'un électron dans un cristal unidimensionnel.
Exercice 6.5 (F) Vérifier que [T(na) , H] = 0 pour n E Z .
6.4.1 Théorème de Bloch
Il est donc possible de trouver une base d'états stationnaires 1 tjJ K) symétriques sous
les translations d'un multiple entier de a :
Hlt.f!K) = E(K)lt./!K)
A
"K
T(a)I t./!K) = e1
1 t./!K ).
(6.21)
(6.22)
Nous avons indexé les états stationnaires à l'aide de la valeur propre e-iK de l' opérateur de translation, i.e. à l'aide de leurs propriétés de symétries sous les translations
T(na). Le paramètre K est appelé le paramètre de Bloch (attention, il n' est pas relié au vecteur d'onde défini comme k = p/1i ; les états propres 1 tjJ K) ne sont pas états
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La conservation de l'impulsion se comprend donc comme une conséquence de
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l'absence de potentiel V(;t)]; nous relions donc une propriété géométrique du système à la conservation d'une grandeur physique. La conservation de l'énergie est
une conséquence de l'invariance sous le groupe des translations temporelles (lorsque
le potentiel est indépendant du temps), etc.
Notons que nous n'avons fait qu'appliquer des concepts de portée très générale
dans le cadre quantique : ni la notion de groupe de transformations, ou celle de générateur ou encore le théorème de Nœther ne sont propres à la mécanique quantique ;
ces idées peuvent également être introduites en mécanique classique (on pourra en
voir une illustration dans l' annexe du chapitre 1 ou [29]).
Remarque : Déduire l'équation de Schrodinger d'un principe plus fondamental
Lorsque l' hamiltonien est indépendant du temps , le théorème de Nœther nous offre
un moyen de déduire l'équation d'évolution d'un principe plus fondamental. Étant la
quantité conservée au cours du temps, l'énergie (l'hamiltonien) est le générateur infinitésimal des translations temporelles, i.e. l'opérateur d'évolution temporelle s'exprime comme (6.16). Nous obtenons alors que le vecteur ll/f(t}) = U(t)ll/f(O) ) obéit à
l'é quation de Schrodinger (5.1 ).
6.4 POTENTIEL PÉRIODIQUE ET THÉORÈME
DE BLOCH
Nous donnons une autre illustration de l'idée que les états stationnaires peuvent être
classés à l'aide de leurs symétries. Étudions l'équation de Schrodinger stationnaire
unidimensionnelle pour un potentiel périodique V(x) = V(x +a), i.e. nous décrivons
la dynamique d'un électron dans un cristal unidimensionnel.
Exercice 6.5 (F) Vérifier que [T(na) , H] = 0 pour n E Z .
6.4.1 Théorème de Bloch
Il est donc possible de trouver une base d'états stationnaires 1 tjJ K) symétriques sous
les translations d'un multiple entier de a :
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(6.21)
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Nous avons indexé les états stationnaires à l'aide de la valeur propre e-iK de l' opérateur de translation, i.e. à l'aide de leurs propriétés de symétries sous les translations
T(na). Le paramètre K est appelé le paramètre de Bloch (attention, il n' est pas relié au vecteur d'onde défini comme k = p/1i ; les états propres 1 tjJ K) ne sont pas états
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