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.-t
0
N
@
.µ
..c
CJl
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
c) Rotations
Dans le chapitre 8 nous verrons que le générateur infinitésimal des rotations est le
moment cinétique. Les difficultés techniques qui vont apparaître sont liées à la nature
non abélienne du groupe des rotations.
d) Transformations spéciales de Galilée
Les transformations spéciales de Galilée (que nous appellerons plus simplement les
« transformations de Galilée ») sont les translations d'espace-temps permettant de
changer de référentiel inertiel. La transformation de paramètre vagit sur les coordonnées d'espace-temps comme :
t' = t
r' = r +ut.
(6.17)
(6.18)
Nous montrerons dans le problème 6.1 page 118 que les transformations de Galilée
sont représentées dans l'espace de Hilbert par les opérateurs
•
A A
• A
• A •
2
U
A
(;7\
.!..iJ.(mr-;:tt)
.!..miJ·r _.!..iJ.jJt _ _.!__miJ t
G Vj =e n
V
=e n e r1 e 2ti
(6.19)
où la seconde expression est obtenue en utilisant la formule de Baker-CampbellHausdorff rappelée ci-dessous.
Formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Soient deux opérateurs A et B tels que
[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, alors eA+B = eAe 8 e- !fA,BJ.
Lemme : si [A, B] =A l où A E C on a [f(A), B] = [A, B]f'(A).
Démonstration de la formule : on introduit C(t) d~f etAetB où t est un paramètre
réel. Jr C(t) = AC(t) + C(t)B = (A+ B + t[A, B])C(t) où l'on a utilisé le lemme. On
déduit finalement que C(t) = et
6.3.2 Loi de conservation - Théorème de Nœther
Dans le cas d'une invariance sous un groupe continu de symétrie, la commutation
de l'hamiltonien avec tous les éléments Û(A) = e- itlG/li du groupe implique la commutation de l'hamiltonien avec le générateur : [H, G] = O. La quantité physique G,
également appelée charge de Nœther, est donc conservée au cours du temps:
invariance sous le groupe { Û(À)}
==>
d
A
dt< l/J(t) IGI l/J(t)) = o.
(6.20)
Le théorème de Nœther, qui associe à toute propriété d'invariance sous un groupe
continu une charge conservée, établit un lien très profond entre symétrie et loi de
conservation.
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Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
c) Rotations
Dans le chapitre 8 nous verrons que le générateur infinitésimal des rotations est le
moment cinétique. Les difficultés techniques qui vont apparaître sont liées à la nature
non abélienne du groupe des rotations.
d) Transformations spéciales de Galilée
Les transformations spéciales de Galilée (que nous appellerons plus simplement les
« transformations de Galilée ») sont les translations d'espace-temps permettant de
changer de référentiel inertiel. La transformation de paramètre vagit sur les coordonnées d'espace-temps comme :
t' = t
r' = r +ut.
(6.17)
(6.18)
Nous montrerons dans le problème 6.1 page 118 que les transformations de Galilée
sont représentées dans l'espace de Hilbert par les opérateurs
•
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(6.19)
où la seconde expression est obtenue en utilisant la formule de Baker-CampbellHausdorff rappelée ci-dessous.
Formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Soient deux opérateurs A et B tels que
[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, alors eA+B = eAe 8 e- !fA,BJ.
Lemme : si [A, B] =A l où A E C on a [f(A), B] = [A, B]f'(A).
Démonstration de la formule : on introduit C(t) d~f etAetB où t est un paramètre
réel. Jr C(t) = AC(t) + C(t)B = (A+ B + t[A, B])C(t) où l'on a utilisé le lemme. On
déduit finalement que C(t) = et
6.3.2 Loi de conservation - Théorème de Nœther
Dans le cas d'une invariance sous un groupe continu de symétrie, la commutation
de l'hamiltonien avec tous les éléments Û(A) = e- itlG/li du groupe implique la commutation de l'hamiltonien avec le générateur : [H, G] = O. La quantité physique G,
également appelée charge de Nœther, est donc conservée au cours du temps:
invariance sous le groupe { Û(À)}
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dt< l/J(t) IGI l/J(t)) = o.
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Le théorème de Nœther, qui associe à toute propriété d'invariance sous un groupe
continu une charge conservée, établit un lien très profond entre symétrie et loi de
conservation.
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