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6.3. Groupes continus - Générateur infinitésimal
Son action sur les vecteurs de 1 ' espace de Hilbert est donc définie par
T(a)lx) =lx+ a).
(6.11)
Notons que si nous considérons l'action de la translation sur un état Il/!')= T(a)ll/J),
les fonctions d ' onde correspondantes sont reliées par l/J' (x') = l/f(x) , c' est-à-dire
l/J'(x) = l/f(x - a).
Nous cherchons la loi de transformation de l'opérateur position: x' ~f T(a)xT(a)t.
Pour déterminer cet opérateur, nous étudions son action sur un vecteur localisé spatialement: x'lx> = f(a)xlx-a> = (x-a)T(a)lx-a> = (x-a)lx> = (x-a)lx>.
Ceci est vrai V 1 x ), d'où
x' = x - a.
(6.12)
Attention aux signes! Un système en x est translaté en x' = x +a, mais c'est le
signe opposé qui apparaît pour la transformation de l'opérateur, afin de satisfaire
( x 1 lx! x2) = ( x~ lx'I x; ). Nous pouvons maintenant identifier le générateur infinitésimal des translations. Écrivons T(a) = e-kaô . Dans la limite a ~ 0, la transformation
prend la forme x' = X - *a[G, x] + i! (-*a )
2
[G, [G, x]] + O(a
3 ). Nous comparons
ce développement à (6.12) : l'absence de terme O(a
2 ) dans cette dernière équation
montre que [G, x] est proportionnel à l'identité. On obtient finalement que ê =p. Le
générateur infinitésimal des translations spatiales est l'opérateur d'impulsion :
1 T(a) = e-kfla 1
(6.13)
Exercice 6.4 (F) En remarquant que le développement de Taylor peut s'écrire sous
la forme compacte :
d
f(x +a) = eaëiX f(x)
(6.14)
retrouver l'expression (6.13) de l'opérateur de translation.
Dans l'espace tridimensionnel, le groupe des translations possède trois générateurs
infinitésimaux correspondant aux trois composantes de l'impulsion Px, Py et Pz· La
commutation de ces trois opérateurs assure la co~mutativité de tous les éléments du
groupe : le groupe des translations T(il) = e- ~a·if est un groupe abélien. La loi de
composition au sein du groupe est simple :
T(il) T(â') = T(â') T(â) = T(â + â') .
(6.15)
b) Translations temporelles
Pour un hamiltonien indépendant du temps, nous avons vu (§ 5.1.2) que l'opérateur
d'évolution, défini par l l/f(t)) = Û(t) 11/J(O) ), est donné par
1 Û(t) = e-ifJr/li 1
(6.16)
L'opérateur hamiltonien (l'opérateur qui représente l 'énergie) est donc le générateur
infinitésimal des translations temporelles.
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6.3. Groupes continus - Générateur infinitésimal
Son action sur les vecteurs de 1 ' espace de Hilbert est donc définie par
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(6.11)
Notons que si nous considérons l'action de la translation sur un état Il/!')= T(a)ll/J),
les fonctions d ' onde correspondantes sont reliées par l/J' (x') = l/f(x) , c' est-à-dire
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Nous cherchons la loi de transformation de l'opérateur position: x' ~f T(a)xT(a)t.
Pour déterminer cet opérateur, nous étudions son action sur un vecteur localisé spatialement: x'lx> = f(a)xlx-a> = (x-a)T(a)lx-a> = (x-a)lx> = (x-a)lx>.
Ceci est vrai V 1 x ), d'où
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(6.12)
Attention aux signes! Un système en x est translaté en x' = x +a, mais c'est le
signe opposé qui apparaît pour la transformation de l'opérateur, afin de satisfaire
( x 1 lx! x2) = ( x~ lx'I x; ). Nous pouvons maintenant identifier le générateur infinitésimal des translations. Écrivons T(a) = e-kaô . Dans la limite a ~ 0, la transformation
prend la forme x' = X - *a[G, x] + i! (-*a )
2
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ce développement à (6.12) : l'absence de terme O(a
2 ) dans cette dernière équation
montre que [G, x] est proportionnel à l'identité. On obtient finalement que ê =p. Le
générateur infinitésimal des translations spatiales est l'opérateur d'impulsion :
1 T(a) = e-kfla 1
(6.13)
Exercice 6.4 (F) En remarquant que le développement de Taylor peut s'écrire sous
la forme compacte :
d
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(6.14)
retrouver l'expression (6.13) de l'opérateur de translation.
Dans l'espace tridimensionnel, le groupe des translations possède trois générateurs
infinitésimaux correspondant aux trois composantes de l'impulsion Px, Py et Pz· La
commutation de ces trois opérateurs assure la co~mutativité de tous les éléments du
groupe : le groupe des translations T(il) = e- ~a·if est un groupe abélien. La loi de
composition au sein du groupe est simple :
T(il) T(â') = T(â') T(â) = T(â + â') .
(6.15)
b) Translations temporelles
Pour un hamiltonien indépendant du temps, nous avons vu (§ 5.1.2) que l'opérateur
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(6.16)
L'opérateur hamiltonien (l'opérateur qui représente l 'énergie) est donc le générateur
infinitésimal des translations temporelles.
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