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6.2. Transformations en mécanique quantique
cherchons à construire l'hamiltonien H du système dans la base supposée orthonormée { 11/f c ) , 11/f D ) } , en utilisant les symétries du problème.
a) La forme la plus générale pour H est une matrice hermitique 2 x 2. Combien
de paramètres réels indépendants permettent de paramétrer la matrice hermitique
2 x 2 la plus générale ?
b) Donner la matrice 2 x 2, notée !Ji!, représentant l'opération de réflexion par rapport
au plan des atomes H (si l' origine du repère est placée au centre des atomes H,
l'action de la réflexion !Ji! coïncide avec celle de l'inversion f!JJ) .
c) Que vaut [!Ji! , H] ? Quelles contraintes pouvez-vous déduire sur la matrice H?
d) Peut-on prédire le signe de l'élément de matrice non diagonal H 12 ?
• Renversement du sens du temps
En mécanique classique, si nous considérons une trajectoire r(t), le renversement
du temps correspond à r(t) ~ r(-t). Par conséquent l' impulsion est modifiée selon
p(t) ~ - p( -t).
En mécanique quantique, le renversement du temps est représenté par un opérateur .&" antiunitaire
2 agissant dans l'espace de Hilbert, ce qui est à 1' origine de
certaines complications dans lesquelles nous ne souhaitons pas entrer ici (cf. chapitre XV de l'ouvrage de Messiah [37]). L'action du renversement du temps sur la
fonction d'onde peut être facilement obtenue en remarquant que si l/f(r, t) est solution
de l'équation de Schrodinger (1.13), il en est de même pour:
l/!renv(r, t) = l/f*(r, -t).
(6.8)
Exercice 6.3 (MF) Montrer que l/Jrenv(iJ, t) = l /J*(-p, -t).
La violation de la parité. Jusqu'aux années 1950, on admettait l'invariance des
lois de la physique sous la parité (i.e. la commutation de « l'hamiltonien» décrivant les interactions fondamentales, électromagnétique, faible et forte, avec
l'opérateur de parité), jusqu'à ce que l'analyse de la désintégration de certains
mésons suggère la non conservation de la parité au cours des processus mettant en jeu l'interaction faible. La violation de la parité par l'interaction faible
fut suggérée par Lee et Yang en 1956, puis démontrée expérimentalement en
l 95 7 dans une expérience de désintégration d'un noyau de cobalt polarisé. Il est
remarquable de souligner qu'à l'échelle la plus élémentaire, la nature brise la
symétrie droite/gauche.
2. Un opérateur antilinéaire satisfait Î<(a:I l/f) + .Blx)) = a:* Î
« antiuni taire ».
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a) La forme la plus générale pour H est une matrice hermitique 2 x 2. Combien
de paramètres réels indépendants permettent de paramétrer la matrice hermitique
2 x 2 la plus générale ?
b) Donner la matrice 2 x 2, notée !Ji!, représentant l'opération de réflexion par rapport
au plan des atomes H (si l' origine du repère est placée au centre des atomes H,
l'action de la réflexion !Ji! coïncide avec celle de l'inversion f!JJ) .
c) Que vaut [!Ji! , H] ? Quelles contraintes pouvez-vous déduire sur la matrice H?
d) Peut-on prédire le signe de l'élément de matrice non diagonal H 12 ?
• Renversement du sens du temps
En mécanique classique, si nous considérons une trajectoire r(t), le renversement
du temps correspond à r(t) ~ r(-t). Par conséquent l' impulsion est modifiée selon
p(t) ~ - p( -t).
En mécanique quantique, le renversement du temps est représenté par un opérateur .&" antiunitaire
2 agissant dans l'espace de Hilbert, ce qui est à 1' origine de
certaines complications dans lesquelles nous ne souhaitons pas entrer ici (cf. chapitre XV de l'ouvrage de Messiah [37]). L'action du renversement du temps sur la
fonction d'onde peut être facilement obtenue en remarquant que si l/f(r, t) est solution
de l'équation de Schrodinger (1.13), il en est de même pour:
l/!renv(r, t) = l/f*(r, -t).
(6.8)
Exercice 6.3 (MF) Montrer que l/Jrenv(iJ, t) = l /J*(-p, -t).
La violation de la parité. Jusqu'aux années 1950, on admettait l'invariance des
lois de la physique sous la parité (i.e. la commutation de « l'hamiltonien» décrivant les interactions fondamentales, électromagnétique, faible et forte, avec
l'opérateur de parité), jusqu'à ce que l'analyse de la désintégration de certains
mésons suggère la non conservation de la parité au cours des processus mettant en jeu l'interaction faible. La violation de la parité par l'interaction faible
fut suggérée par Lee et Yang en 1956, puis démontrée expérimentalement en
l 95 7 dans une expérience de désintégration d'un noyau de cobalt polarisé. Il est
remarquable de souligner qu'à l'échelle la plus élémentaire, la nature brise la
symétrie droite/gauche.
2. Un opérateur antilinéaire satisfait Î<(a:I l/f) + .Blx)) = a:* Î
« antiuni taire ».
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