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Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
Le rôle de la conservation de la parité se comprend aisément en considérant le cas
d'un état quantique ayant initialement une parité bien définie .#1 lf!(O)) = ±I ijf(O) ),
i.e. sa fonction d' onde est paire ou impaire If!(-x, 0) = ±ijf(x, 0). La commutation de
l'opérateur parité avec l'hamiltonien implique la commutation de la parité avec l'opérateur d'évolution temporelle (5.4) : la propriété de symétrie de la fonction d'onde
est donc conservée au cours du temps : .#1 ijJ(t)) = ±I ijl(t) ), i.e. ijl(-x, t) = ±ijl(x, t)
V t.
Examinons maintenant l'implication de la présence de la symétrie sous la réflexion
sur le spectre des états stationnaires.
• États liés E < O. Le spectre est quantifié : il existe un nombre N ~ 1 de solutions
'Pt (x), · · · , 'PN(x) d'énergies E1, · · · , E N. Les niveaux sont non dégénérés (propriété
générale d'un potentiel confinant défini sur R ). Les états stationnaires sont donc nécessairement des états propres de la parité .#. Les fonctions d'onde sont soit paires
soit impaires, ce que nous exploiterons dans l'exercice 6.9 pour simplifier la résolution de l' équation de Schrodinger.
• États de diffusion E > O. Dans ce cas les états stationnaires sont dégénérés. À E
fixée, 1 ' équation de Schrodinger admet deux solutions linéairement indépendantes.
Il est naturel d'introduire un état
1 : 'Pd(x) = te- ikx pour x < -a/2
et 'Pd(x) = e-ikx + re+ikx pour x > a/2. Aucun de ces deux états n' est invariant sous
la réflexion : .#1
leurs propriétés sous la réflexion. On introduit deux états propres de fI et .#, notés
1 IJ' ± ), avec .#1 IJI± ) = ±I IJI± ). Bien sûr: 1 IJ'± ) oc 1'Pg)±1 'Pd ) (cf. § 10.2.2).
Exercice 6.2 (F) Hamiltonien de basse énergie pour la molécule NH 3
Les quatre atomes de la molécule d'ammoniac (NH3) forment un trièdre. Si l'on
s'intéresse à la physique de basse énergie, on peut considérer que seuls deux états
quantiques sont accessibles : les deux configurations symétriques par rapport au plan
des atomes H, notées 1 lf!c ) et 1 If! D ) , décrivant la situation où l'atome N est à gauche
ou à droite du plan des atomes H. Du point de vue de l'atome N, les deux états correspondent à deux minima de l'énergie symétriques par réflexion (cf. figure 1.7). Nous
1. A priori on doit introduire deux nouvelles amplitudes de transmission et de réflexion t' et r' dans
'Pd(x). Toutefois on peut montrer que (i) t = t' est une conséquence de l'invariance par renversement du
temps et (ii) r = r' est une conséquence de l'invariance sous la réflexion # V(x) # = V( - x) = V(x) .
Cette deuxième propriété pourra être démontrée en exercice.
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Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
Le rôle de la conservation de la parité se comprend aisément en considérant le cas
d'un état quantique ayant initialement une parité bien définie .#1 lf!(O)) = ±I ijf(O) ),
i.e. sa fonction d' onde est paire ou impaire If!(-x, 0) = ±ijf(x, 0). La commutation de
l'opérateur parité avec l'hamiltonien implique la commutation de la parité avec l'opérateur d'évolution temporelle (5.4) : la propriété de symétrie de la fonction d'onde
est donc conservée au cours du temps : .#1 ijJ(t)) = ±I ijl(t) ), i.e. ijl(-x, t) = ±ijl(x, t)
V t.
Examinons maintenant l'implication de la présence de la symétrie sous la réflexion
sur le spectre des états stationnaires.
• États liés E < O. Le spectre est quantifié : il existe un nombre N ~ 1 de solutions
'Pt (x), · · · , 'PN(x) d'énergies E1, · · · , E N. Les niveaux sont non dégénérés (propriété
générale d'un potentiel confinant défini sur R ). Les états stationnaires sont donc nécessairement des états propres de la parité .#. Les fonctions d'onde sont soit paires
soit impaires, ce que nous exploiterons dans l'exercice 6.9 pour simplifier la résolution de l' équation de Schrodinger.
• États de diffusion E > O. Dans ce cas les états stationnaires sont dégénérés. À E
fixée, 1 ' équation de Schrodinger admet deux solutions linéairement indépendantes.
Il est naturel d'introduire un état
1 : 'Pd(x) = te- ikx pour x < -a/2
et 'Pd(x) = e-ikx + re+ikx pour x > a/2. Aucun de ces deux états n' est invariant sous
la réflexion : .#1
leurs propriétés sous la réflexion. On introduit deux états propres de fI et .#, notés
1 IJ' ± ), avec .#1 IJI± ) = ±I IJI± ). Bien sûr: 1 IJ'± ) oc 1'Pg)±1 'Pd ) (cf. § 10.2.2).
Exercice 6.2 (F) Hamiltonien de basse énergie pour la molécule NH 3
Les quatre atomes de la molécule d'ammoniac (NH3) forment un trièdre. Si l'on
s'intéresse à la physique de basse énergie, on peut considérer que seuls deux états
quantiques sont accessibles : les deux configurations symétriques par rapport au plan
des atomes H, notées 1 lf!c ) et 1 If! D ) , décrivant la situation où l'atome N est à gauche
ou à droite du plan des atomes H. Du point de vue de l'atome N, les deux états correspondent à deux minima de l'énergie symétriques par réflexion (cf. figure 1.7). Nous
1. A priori on doit introduire deux nouvelles amplitudes de transmission et de réflexion t' et r' dans
'Pd(x). Toutefois on peut montrer que (i) t = t' est une conséquence de l'invariance par renversement du
temps et (ii) r = r' est une conséquence de l'invariance sous la réflexion # V(x) # = V( - x) = V(x) .
Cette deuxième propriété pourra être démontrée en exercice.
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