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6.2. Transformations en mécanique quantique
• Symétries et dégénérescences
Soit Û une symétrie de H. Si 1 !/f) est un état propre de l'hamiltonien, Hl !/f) = Ertrl !/f ),
alors ÛI !/J) est également état stationnaire pour la même énergie Ertr. En effet :
HÛI !/J) = Û Hl !/J) = Ertr ÛI !/J). Si l'état 1 !/J) est un état symétrique, cette observation ne nous apprend rien puisque ÛI !/J) ex: 1 !/J ). Dans le cas contraire (1 !/J) non
symétrique), nous déduisons que deux états de même énergie sont reliés par une
transformation de symétrie. Autrement dit, nous identifions l'origine physique d'une
dégénérescence dans une symétrie du problème.
Une conséquence intéressante de cette remarque est la possibilité de classer les
états propres selon leurs propriétés de symétries. [H, Û] = 0 implique l'existence
d'une base d'états propres communs aux deux opérateurs, i.e. d'états repérés par
des nombres quantiques associés à Û et l'énergie. Une application de cette idée est
donnée ci-dessous ou dans l'exerice 6.9, ou encore pour l'étude des potentiels centrosymétriques, aux chapitres 10 et 12.
6.2.2 Parité et autres symétries discrètes
• Parité
Notons # l'opérateur de parité, défini par son action dans l'espace de Hilbert:
fYJIP> = l-r)
(6.6)
9 s'interprète géométriquement comme l'inversion r ---7 -r. Il est clair que
9
2 = 1, d'où nous déduisons que l'opérateur possède les valeurs propres ± 1. De
plus 9t = 9 .
• Opérateurs pairs/impairs
Certains opérateurs possèdent des propriétés particulières sous la parité, commutant
ou anticommutant avec #
9 Â9 =±Â
{:
opérateur  pair
opérateur  impair.
(6.7)
Nous montrons dans l'exerice 6.7 que les opérateurs position x et impulsion p sont
impairs.
• Application : le puits de potentiel symétrique
Considérons le cas du puits de potentiel symétrique : V(x) = 0 pour lxl > a/2 et
V(x ) = - V 0 < 0 pour lxl < a/2. La parité (dans le cas unidimensionnel, la réflexion
x ---7 -x) est une symétrie du problème : [H, 9 ] = O.
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6.2. Transformations en mécanique quantique
• Symétries et dégénérescences
Soit Û une symétrie de H. Si 1 !/f) est un état propre de l'hamiltonien, Hl !/f) = Ertrl !/f ),
alors ÛI !/J) est également état stationnaire pour la même énergie Ertr. En effet :
HÛI !/J) = Û Hl !/J) = Ertr ÛI !/J). Si l'état 1 !/J) est un état symétrique, cette observation ne nous apprend rien puisque ÛI !/J) ex: 1 !/J ). Dans le cas contraire (1 !/J) non
symétrique), nous déduisons que deux états de même énergie sont reliés par une
transformation de symétrie. Autrement dit, nous identifions l'origine physique d'une
dégénérescence dans une symétrie du problème.
Une conséquence intéressante de cette remarque est la possibilité de classer les
états propres selon leurs propriétés de symétries. [H, Û] = 0 implique l'existence
d'une base d'états propres communs aux deux opérateurs, i.e. d'états repérés par
des nombres quantiques associés à Û et l'énergie. Une application de cette idée est
donnée ci-dessous ou dans l'exerice 6.9, ou encore pour l'étude des potentiels centrosymétriques, aux chapitres 10 et 12.
6.2.2 Parité et autres symétries discrètes
• Parité
Notons # l'opérateur de parité, défini par son action dans l'espace de Hilbert:
fYJIP> = l-r)
(6.6)
9 s'interprète géométriquement comme l'inversion r ---7 -r. Il est clair que
9
2 = 1, d'où nous déduisons que l'opérateur possède les valeurs propres ± 1. De
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• Opérateurs pairs/impairs
Certains opérateurs possèdent des propriétés particulières sous la parité, commutant
ou anticommutant avec #
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(6.7)
Nous montrons dans l'exerice 6.7 que les opérateurs position x et impulsion p sont
impairs.
• Application : le puits de potentiel symétrique
Considérons le cas du puits de potentiel symétrique : V(x) = 0 pour lxl > a/2 et
V(x ) = - V 0 < 0 pour lxl < a/2. La parité (dans le cas unidimensionnel, la réflexion
x ---7 -x) est une symétrie du problème : [H, 9 ] = O.
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