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Chapitre 6 • Symétries et lois de conservation
Un opérateur unitaire û est défini par ûût = i,{t i,{ = l. Ses valeurs propres
sont de la forme eien avec en E R ; la matrice le représentant est diagonalisable à
l'aide d'une autre matrice unitaire. Autrement dit, 3 un opérateur ê hermitique
tel que û = eiê (exercice 3. 14).
• État ayant des propriétés de symétrie
Si le système se trouve dans un état 11/!) tel que toute grandeur physique calculée
pour cet état est inchangée lorsque l'on effectue la transformation Û, alors ÛI if!) ex:
Il/!). Nous appellerons les états propres de l'opérateur de transformation des « états
symétriques »
1 état 11/!) symétrique
(6.2)
Lorsque la phase est nulle, 81/J = 0, 1 'état est invariant sous la transformation :
Ûll/!) =Il/!).
• Transformation des opérateurs (observables)
Un opérateur  est transformé selon
Â' = iJ Â iJt'
(6.3)
ce qu'on vérifie en écrivant l'égalité des éléments de matrices (if! IÂ lx) =
« Se vogliamo che tutto rimanga corne è, bisogno che tutto cambi. »
Il gattopardo, G. Tomasi di Lampedusa.
• Grandeur physique invariante
Si une quantité physique est invariante sous une transformation, A' =A , l'opérateur
la représentant commute avec l'opérateur de transformation
1 A invariant
(6.4)
• Symétrie et loi de conservation
Une transformation de symétrie d'un problème est une transformation qui commute avec le hamiltonien (qui laisse invariant le système), ce qui implique, d'après
le théorème d'Ehrenfest (§ 5.2), l'existence d'une loi de conservation :
(6.5)
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