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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
•iflMIU On considère une particule libre dont la dynamique est décrite par 1 'Ha?
miltonien H = f,~· On note 11/J(t)) le vecteur de l'espace de Hilbert décrivant l'état
quantique de la particule, solution de 1' équation de Schrodinger.
a) Soit f(p) une fonction de l'impulsion. Justifier que (f(p))l/f(t) = (f(p))l/f(O)·
b) Calculer [H, x] et déduire 1r (x)l/J(t)· Montrer que (x)l/J(t) = ~ (p)l/f(O) t + (x)l/f(O)·
c) Montrer que [H, x
2 ] = -~(xp +px) et donner g 1 (x2)1/J(t) ·
d) Vérifier que ~t~ (x
2 )1/J(t) = (*)
2 ([H, [H, x
2 ]])1/f(t)· Calculer le double commutateur
et en déduire que ~ 1 ~ (x
2 )1fi(t) =este dont on donnera l'expression.
) 0 .
d . A 2 ~ ( 2)
( )2
M
.
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n mtro mt LJ.Xl/J(t) - x l/J(t) - x l/J(t)· ontrer que .
2
1
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2
tixl/J(t) = m 2 !ipl/f(O) t + m (xp + px)l/f(O) - 2 (p)l/f(O) (x)l/f(O) t + tixl/f(O)" (5.36)
Tracer !ixl/J(t) en fonction de t.
'*m Inégalité de Heisenberg temporelle
Utiliser le résultat de l'exercice 3 .13 pour l'équation définissant l' opérateur « dérivée temporelle de B » : B = MH, B]. Montrer qu'on peut interpréter cette inégalité
comme une équation de Heisenberg temporelle.
'J:M Théorème de Feynman-Hellmann
Soit H(f) un hamiltonien dépendant d'un paramètre f et X l'observable conjuguée à
ce paramètre, i.e. X ~ - a~y). On note {En(f), 1
(5.37)
•'IM Jonction Josephson
La plupart des métaux deviennent supraconducteurs à très basse température (par
exemple pour l'aluminium, lorsque T ~ 1.175 K): la résistance électrique s'annule
exactement. Ce phénomène s'explique par la formation d ' un condensat de paires de
Cooper (des paires d'électrons) de charges q* = 2qe, qui se meuvent sans di ssipation.
Ces paires d'électrons, des bosons (cf. chapitre 11), se« condensent» dans le même
état quantique, i.e. le supraconducteur peut être décrit à l' échelle macroscopique par
une fonction d'onde.
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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
•iflMIU On considère une particule libre dont la dynamique est décrite par 1 'Ha?
miltonien H = f,~· On note 11/J(t)) le vecteur de l'espace de Hilbert décrivant l'état
quantique de la particule, solution de 1' équation de Schrodinger.
a) Soit f(p) une fonction de l'impulsion. Justifier que (f(p))l/f(t) = (f(p))l/f(O)·
b) Calculer [H, x] et déduire 1r (x)l/J(t)· Montrer que (x)l/J(t) = ~ (p)l/f(O) t + (x)l/f(O)·
c) Montrer que [H, x
2 ] = -~(xp +px) et donner g 1 (x2)1/J(t) ·
d) Vérifier que ~t~ (x
2 )1/J(t) = (*)
2 ([H, [H, x
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et en déduire que ~ 1 ~ (x
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Tracer !ixl/J(t) en fonction de t.
'*m Inégalité de Heisenberg temporelle
Utiliser le résultat de l'exercice 3 .13 pour l'équation définissant l' opérateur « dérivée temporelle de B » : B = MH, B]. Montrer qu'on peut interpréter cette inégalité
comme une équation de Heisenberg temporelle.
'J:M Théorème de Feynman-Hellmann
Soit H(f) un hamiltonien dépendant d'un paramètre f et X l'observable conjuguée à
ce paramètre, i.e. X ~ - a~y). On note {En(f), 1
(5.37)
•'IM Jonction Josephson
La plupart des métaux deviennent supraconducteurs à très basse température (par
exemple pour l'aluminium, lorsque T ~ 1.175 K): la résistance électrique s'annule
exactement. Ce phénomène s'explique par la formation d ' un condensat de paires de
Cooper (des paires d'électrons) de charges q* = 2qe, qui se meuvent sans di ssipation.
Ces paires d'électrons, des bosons (cf. chapitre 11), se« condensent» dans le même
état quantique, i.e. le supraconducteur peut être décrit à l' échelle macroscopique par
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