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Exercices
caractériser la diffusion d'une onde incidente de la droite. Exprimer la matrice S
en terme de ces coefficients [d'après l'exercice 5 .1 la matrice S relie les amplitudes sortantes (B, C) aux amplitudes entrantes (A, D)] . Écrire explicitement les
contraintes sur les quatre coefficients traduisant l'unitarité SS t = St S = 1.
b) Matrice de transfert. Nous introduisons la matrice de transfert M reliant les amplitudes de part et d ' autre de la barrière
(5.34)
Cette matrice fournit une autre manière d'encoder les propriétés du potentiel V(x).
Quel est l'intérêt de la notion de matrice de transfert? Quelle propriété de M
exprime la conservation du courant de probabilité ?
c) Montrer que la matrice de transfert s'exprime comme
Calculer det Met MT M.
M = ( 1/t* -r*/t* ).
-r/t' l/ t'
'"lli$1ij Paquet d'ondes gaussien - évolution libre
(5.35)
Exercices
?
a 2
2
Calculer la fonction d'onde l/f(x, t) pour /jJ(p, 0) = ( :; 2
) l/ 4 e - 2ri 2 (p- po) . Vérifier la normalisation de l(;(p, t) et l/J(x, t). Tracer l'allure de 11/J(x, t)l
2 à t = 0 et t > O. Discuter
les inégalités de Heisenberg (2.38) et (2.40) (on se placera dans la limite Po >> "fi/a
pour discuter l'inégalité de Heisenberg temporelle).
-+2
0
'"I@ Considérons un hamiltonien H = fi m + V(r). Vérifier que l'opérateur r = v
est bien ~. Calculer ft.
'"ljW Nous nous intéressons à l' oscillateur harmonique unidimensionnel H =
ir: + ~mw 2 x 2 . Calculer les opérateurs x et p. Montrer que les valeurs moyennes
(x)r/l(t) ~ ( l/f(t) lx l l/J(t)) et (p)r/J(t) obéissent aux équations du mouvement classiques.
Quelle est l' origine de ce résultat ? Résoudre ces équations différentielles.
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