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0
l.J)
.-t
0
N
@
.......
..c
CJl
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
98
à travers la lame) relie le sous-espace de l'espace de Hilbert Gin = {lin, u), lin, d)}
au sous-espace G"out = { 1 out, u), 1 out, d )}. La relation entre l'état 1 i.f!in ) et l'état 1 If! out )
dépend des propriétés de la lame. Celles-ci sont codées dans la matrice de diffusion,
matrice S, qui relie les amplitudes entrantes aux amplitudes sortantes :
ipin/out = If! u
(
in/out)
1/1;/out
(5.30)
est le vecteur de C
2 regroupant les deux composantes de 1 l/!in/out) E Gin/out·
a) Montrer que la conservation de la probabilité implique l'unitarité de la matrice de
diffusion ss t = sts = 1.
b) Combien de contraintes l'unitarité de S induit-elle sur les quatre coefficients de
la matrice? Combien de paramètres réels sont-ils nécessaires pour paramétrer les
matrices du groupe U(2) (les matrices 2 x 2 unitaires)?
c) Vérifier que la paramétrisation suivante (appelée « représentation polaire ») est
satisfai sante
S _ 18
V'
. (eÏ' P ~ ie- Î X -fr )
- e
ieix Yr e- icp ~
(5.31)
où T E [0, l], e, 'P et X sont quatre paramètres réels. Calculer le déterminant :
det S. Quel est le sens physique des différents paramètres ?
Remarque : Matrice S ou opérateur d'évolution?
Pour simplifier l'introduction de la notion de matrice S, celle-ci a été (incorrectement)
confondue avec l'opérateur d'évolution: dans l' ex ercice précédent les états avant diffusion par la lame sont reliés aux états à la sortie de la lame par l'opérateur d'évolution « S » = U(ot) = e- t, H0t où ot est le temps nécessaire pour la transmission/réflexion
de la particule. Plus rigoureusement nous verrons que la matrice S relie plutôt des
états stationnaires (chapitre l 0 ou exercice ci-dessous).
Exercice 5.2 (D) Matrice Set matrice de transfert
On considère un potentiel V(x) non nul seulement sur 1 ' intervalle [x 1 , x 2 ]. Nous pouvons écrire la fonction d'onde comme
'
"2k2
ou E = '2m .
l/!E(x) =A eik(x-xi) + B e- ik(x-x1) pour x < x i
= C eik(x- x2) + D e-ik(x- x2) pour X> X2
(5.32)
(5.33)
a) Matrice S. On introduit un couple d'amplitudes de réflexion/transmission r et t
caractérisant la diffusion par le potentiel d' une onde incidente de la gauche, i.e.
(B, C) = (r, t) pour A = 1 et D = O. De même on introduit un couple (r', t' ) pour
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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
98
à travers la lame) relie le sous-espace de l'espace de Hilbert Gin = {lin, u), lin, d)}
au sous-espace G"out = { 1 out, u), 1 out, d )}. La relation entre l'état 1 i.f!in ) et l'état 1 If! out )
dépend des propriétés de la lame. Celles-ci sont codées dans la matrice de diffusion,
matrice S, qui relie les amplitudes entrantes aux amplitudes sortantes :
ipin/out = If! u
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(5.30)
est le vecteur de C
2 regroupant les deux composantes de 1 l/!in/out) E Gin/out·
a) Montrer que la conservation de la probabilité implique l'unitarité de la matrice de
diffusion ss t = sts = 1.
b) Combien de contraintes l'unitarité de S induit-elle sur les quatre coefficients de
la matrice? Combien de paramètres réels sont-ils nécessaires pour paramétrer les
matrices du groupe U(2) (les matrices 2 x 2 unitaires)?
c) Vérifier que la paramétrisation suivante (appelée « représentation polaire ») est
satisfai sante
S _ 18
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(5.31)
où T E [0, l], e, 'P et X sont quatre paramètres réels. Calculer le déterminant :
det S. Quel est le sens physique des différents paramètres ?
Remarque : Matrice S ou opérateur d'évolution?
Pour simplifier l'introduction de la notion de matrice S, celle-ci a été (incorrectement)
confondue avec l'opérateur d'évolution: dans l' ex ercice précédent les états avant diffusion par la lame sont reliés aux états à la sortie de la lame par l'opérateur d'évolution « S » = U(ot) = e- t, H0t où ot est le temps nécessaire pour la transmission/réflexion
de la particule. Plus rigoureusement nous verrons que la matrice S relie plutôt des
états stationnaires (chapitre l 0 ou exercice ci-dessous).
Exercice 5.2 (D) Matrice Set matrice de transfert
On considère un potentiel V(x) non nul seulement sur 1 ' intervalle [x 1 , x 2 ]. Nous pouvons écrire la fonction d'onde comme
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ou E = '2m .
l/!E(x) =A eik(x-xi) + B e- ik(x-x1) pour x < x i
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(5.32)
(5.33)
a) Matrice S. On introduit un couple d'amplitudes de réflexion/transmission r et t
caractérisant la diffusion par le potentiel d' une onde incidente de la gauche, i.e.
(B, C) = (r, t) pour A = 1 et D = O. De même on introduit un couple (r', t' ) pour